2017年南京航空航天大学理学院814高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 求下列欧拉方程的通解：
说明令记则
【答案】（1）令特征方程
为
即原方程的通解为
（2）原方程可改写成令
记
则方程化为
即 ，则
有特征根
方程（2）对应的齐次方程的特征为故方程（2）对应的齐次方程的通解为因
是特征（二重）根。设
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或则
即
记则原方程化为
即
有特征
根
故方程（1）有通
解
代入方程（2）中可得A=1，即
即原方程的通解为
（3）令其方程特征为即
即原方程的通解为
（4）令
记
则方程可化为
方程（4）对应的齐次方程的特征方程为解为
因
，比较系数得程（4）
于是方程（4）的通解为即原方程的通解为（5）令
记
则方程化为
方程（5）对应的齐次方程的特征方程为
因
不是特征方程的根，故可令
中，得
（6）令
记
则原方程化为
方程（6）对应的齐次方程的特征方程为
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故方程（2）的通解为
记则方程可化为
有根
故方程（3）的通解为
即
有根
故齐次方程的通
是（4）的特解。代入方
即
有根
故齐次方程的通解为
不是特征方程的根，故可令
即
是方程（5）的特解，即即
故原方程的通解为
是
原方程的特解，代入原方程
即
有根
故齐次方程的通解为
因不是特征方程的根，故可令
即
是方程（6）
于是方程（6）的通解为
的特解，代入方程（6）并比较系数，可得
即原方程的通解为
（7）令
记
则原方程可化为
即
方程（7
）对应的齐次方程的特征方程为
因
知，可
令
比较系数，
得
（7）的通解为
即原方程的通解为
（8）令
记
则原方程可化为
不是特征方程的根，故方程
特征方程的（二重）根，故方程
有根
的特解可令作
故齐次方程的通解为的特解
而
是
由叠加原理可
，
得是方程（7）的特解，代入方程（7）
即
于是方程
即
有根
故齐
由叠加原理，
是原方
方程（8）对应的齐次方程的特征方程为次方程的通解为
对方程可令
程的特解，并有
代入原方程比较系数得
即
中，得
因
不是特征方程的单根，
可令
是方程（8）的特解，即令
故原方程的通解为
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