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一、计算题

1． 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积:

及

及

及

。

和，于是

因此

（用极坐标）

解法二：用“先重后单”的积分次序求解。 对固定的z ，当0≤z ≤2时，

，于是

（图1）

当2≤z ≤6时，

消去z ，

解得

及

；

（含有z 轴的部分）

【答案】（1）解法一：利用直角坐标计算。由

，即在xOy 面上的投影区域D xy 为

图

1

（2）解法一：利用球面坐标计算，球面

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及圆锥面的球面坐标

方程分别为和，故

（图2）

图

2

解法二：用“先重后单”的方法计算

由

于是

和

解得z=a，对固定的z ，当0≤z ≤a 时

，

当0≤z ≤2a 时，

。

（3

）利用柱面坐标计算。曲面

，消去z ，得于是

和

的柱面坐标方程分别为

（图3）。因此

和

，故它们所围的立体在xOy 面上的投影区域为

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图3

（4）在直角坐标系中用“先重后单的方法计算。由z=1。

对固定的z ，当0≤z ≤1时，

（图4）。于是

当0≤z ≤时，

和

可解得

图4

2． 讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性:

【答案】（1）又

，故

在x=0处不可导。

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故在x=0处连续。