2017年南京航空航天大学理学院814高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 某吊车的车身高为l.5m , 吊臂长15m 。现在要把一个6m 宽、2m 高的屋架, 水平地吊到6m 高的柱子上去（如图所示）, 问能否吊得上去?
【答案】如图, 设吊臂对地面的倾角为
知
令又
, 得, 故
, 即惟一驻点
为极大值也是最大值, 即当
时, h 达到最大值。
, 屋架能够吊到最大高度为h , 由
, 而柱子的高只有6m , 所以能吊得上去。
图
2． 要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.
【答案】设水池的长为a ，宽为b ，高为c ，则水池的表面积为
约束条件作拉格郎日函数
。
。由
解得
是唯一可能的极值点，由问题本身可知A 一定有最小值，所以表面积
最小的水池的长和宽都应为
3． 根据导数的定义，求
，高为。
的导数。
时，
【答案】由导数的定义知，当
4． 求曲线
在与x 轴交点处的曲率圆方程。
得曲线与x 轴的交点为（l , 0）。
则
【答案】解方程组
, 故
设曲线在点（l , 0）处的曲率中心为
曲率半径
因此所求的曲率圆方程为
5． 求函数
【答案】函数的定义域为因为点
，f （x ，y ）为初等函数，所以
的定义域，并求
。
6． 计算下列极限：
（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）
（k 为正整数）。
7． 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性:
【答案】（1）解法一：后的级数
解法二：因（2）（3）因
而
也发散，由比较审敛法知原级数
而
由于级数发散。
发散，故各项乘
发散，故由极限形式的比较审敛法知原级数发散。
而
发散，由比较审敛法知原级数发散。 收敛，由极限形式的比较审敛法知原级数发散。