2017年南京大学3201数据库、概率论之概率论与数理统计(概率论部分)考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设曲线函数形式为
【答案】令
试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式. 原函数化为V=a+bu.
2． 由正态总体N （100, 4）抽取两个独立样本, 样本均值分别为, 样本容量分别为15, 20, 试求
【答案】由条件得即
, 于是
3． 某批产品含有N 件，其中M 件为不合格品，现从中随机抽取n 件中有X 件不合格品，则X 服从超几何分布，即
假如N 与n 已知，寻求该批产品中不合格品数M 的最大似然估计. 【答案】记未知参数M 的似然函数为L （M ; x ）=P（X=x）. 考察似然比
要使似然比化简此式可得是M 的增函数，即
类似地，要使似然比这表明，当
为整数且
必导致
时，似然函数L （M , x ）是M 的减函数，即
比较（*）式和（**）式可知，当为整数时，M 的最大似然估计为M 的最大似然估计为不为整数时，
综合上述，M 的最大似然估计为
必导致
这表明：当
为整数和
时，似然函数L （M , x ）
且
相互独立, 从而
而当
其中[a]为不超过a 的最大整数.
譬如，在N=19, n=5，x=2场合，
M 的最大似然估计为7或8. 下面以实际计算加以佐证，几个
表
1
可见M 取7或8可使似然函数达到最大. 又如，在N=16，n=5，x=2场合，这时M 的最大似然估计
实际计算如下表 表
2
可见M 取6可使似然函数达到最大.
4． 设的渐近分布为
是从均匀分布U （0, 5）抽取的样本, 试求样本均值的渐近分布.
随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率.
时，所求概率为
，（不为整数）由于
为整数，故
如下表1所示：
【答案】均匀分布U （0, 5）的均值和方差分别为5/2和25/12, 样本容量为25, 因而样本均值
5． n 个男孩，m 个女孩
【答案】将n 个男孩看成是n 个“0”，m 个女孩看成是m 个“1”，而“任意两个女孩都不相邻”则相当于“没有两个1连在一起”，于是在
譬如，
6． 设一个人一年内患感冒的次数服从参数有效（能将泊松分布的参数减少为
等.
的泊松分布. 现有某种预防感冒的药对75%的人
），对另外的25%的人不起作用. 如果某人服用了此药，
一年内患了两次感冒，那么该药对他（她）有效的可能性是多少？
【答案】记事件A 为“服用此药后，一年感冒两次”，事件B 为“服用此药后有效因为
因此所求概率为
7． 一射手单发命中目标的概率为p （
）, 射击进行到命中目标两次为止. 设X 为第一次命
中目标所需的射击次数, Y 为总共进行的射击次数, 求（X , Y ）的联合分布和条件分布.
【答案】只论命中与不命中的试验是伯努利试验. 在一伯努利试验序列中, 首次命中的射击次数X 服从几何分布
, 即
其中p 为命中概率, 第二次命中目标的射击次数Y 服从负二项分布Nb （2, p ）, 即
由于X 与Y-X 相互独立, 所以条件分布
从而（X , Y ）的联合分布列为
另一条件分布
注:从以上条件分布列
可知:在已知第二次命中目标的射击次数为y 的条件下,
第一次命中目标的射击次数X 是在前面次射击中等可能的.
8． 有两个班级同时上一门课, 甲班有25人, 乙班有64人. 该门课程期末考试平均成绩为78分, 标准差为14分. 试问:甲班的平均成绩超过80分的概率大、还是乙班的平均成绩超过80分的概率大？
【答案】
记绩
,
为甲班第i 个学生的成绩
, 因为
为乙班第j 个学生的成所以由林德伯格-莱维中心极限
定理, 甲班平均成绩超过80分的概率为
同理可计算乙班平均成绩超过80分的概率为