2017年南京航空航天大学580数学综合之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 有n 个口袋，每个口袋中均有a 个白球、b 个黑球. 从第一个口袋中任取一球放入第二个口袋，再从第二个口袋中任取一球放入第三个口袋，如此下去，从第n-1个口袋中任取一球放入第n 个口袋. 最后从第n 个口袋中任取一球，求此时取到的是白球的概率.
【答案】记因为
“从第i 个口袋中取出的是白球”，且由上题（1）知
下用归纳法，设
则由全概率公式得
所以由归纳法知：
2． 设
【答案】因为
所以
3． 设流经一个
电阻上的电流I 是一个随机变量，它均匀分布在9A 至11A 之间. 试求此电阻
，对k=l，2，3，求
与
上消耗的平均功率，其中功率
，所以平均功率为
【答案】因为I 〜U （9，11）
4． 袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球. 以X ，Y ，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求二维随机变量（x ，y ）的概率分布.
【答案】由于本题是有放回地取球，则基本事件总数为（Ⅰ）
（Ⅱ）X ，Y 的可能取值均为0，1，2, 且
.
所以二维随机变量f （x , y ）的概率分布为
表
5． 设
试证
为抽自正态总体的简单随机样本. 欲估讨
为枢轴量，其中k 为已知常数： 【答案】因为
，故
其中
是自由度为n-l 的非中心t 分布，其非中心参数
为已知常数. 又
所以
6． 设随机变量X 的密度函数为
的分布与无关，即为枢轴量.
试求以下Y 的密度函数：
【答案】（1）因为Y=2X+1的可能取值范围是其反函数为
及
. 且
是严格单调增函数，
所以Y 的密度函数为
（2
）因为
及
的可能取值范围是
.
且
是严格单调增函数，
其反函数为
所以Y 的密度函数为
（3）因为其反函数为
的可能取值范围是
及
且在上是严格单调増函数，
所以Y 的密度函数为
这是韦布尔（Weibull ）分布的特例. 一般韦布尔分布（记为
本题结论就是
时的韦布尔分布形（1/2，1）.
）的密度函数为
7． 已知随机变量Y 的密度函数为
在给定Y=y条件下, 随机变量X 的条件密度函数为
求概率【答案】因为
所以