2017年东北大学矩阵分析之高等代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 解线性方程组
【答案】
所以秩
此方程组有无穷多解，且其通解为
其中 2． 设关. 设有m 个数
者的情形，若另有一组数
【答案】对由于性表出，
故若又笔
皆不为零. 因
设
则
由于
的系数
由第一段的论证得所有
3． 设A 为正定矩阵，证明对任一正整数m , 存在唯一的正定矩阵B , 使
【答案】（1）因为A 正定，所以存在正交阵T , 使
取
（2）唯一性. 如还有
C 正定.
显有
且B 为正定矩阵.
即
若有某
为任意常数.
为n 维线性空间V 中的线性相关的向量组，但其中任意
使
或者使不妨设
则则
中任意m-2个向量线
或者
个向量皆线性无皆不为零. 在后
中任意m_l个向量线性无关，不能被
由于B 为实对称矩阵，所以B 有n 个线性无关的特征向量
设取由于
则
即
结合式（1）知. 所以
又这样有因此
即
，正定（当然可逆）从而有
故有
4． 设A 为m ×n 矩阵，X 为nXm 未知矩阵. 证明：矩阵方程AXA=A必有解.
【答案】设r （A ）=r.若r=0，则结论显然成立. 下设于是存在m 阶与n 阶满秩方阵P ，Q 使
现在令
则
I
即X=G是方程AXA=A的解•
5． 已知的线性变换丁在基
求T 在基【答案】设由基
到基
下的矩阵及T 的值域与核.
的过渡阵为X ，即
即
下的矩阵为
所以T 在下的矩阵
先求T 的值域：
又
对B 作初等变换，有
所以B 的秩为3, 由
可得
因而
为TV 的一组基再求A 的核知故
6． 求多项式中
在实数范围内，当n 为奇数时：
其中
当n 为偶数时：
7． 设
在复数范围内和在实数范围内的因式分解.
其
由
且
【答案】利用n 次单位根的三角表示，可得在复数范围内：