2017年南京财经大学应用数学学院615数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设
为单调数列. 证明：
若则
0, 按聚点的定义，
于是
聚点，则必是惟一的。
假设在：
使
无界，则
的确界。
有聚点，必惟一，恰为
即任给
存在正整数
当
时，
于是小于M 的只有由聚点定义，必存
有限项，因此不可能存在聚点，这与已知题设矛盾，
故
按上确界定义知综上，若
有界. 对任给的
存在聚点，则必是惟一的，且为
中含有无穷多个
的确界。
令
时
，存在
则当
【答案】
设
是一个单调递増数列.
假设
中只能含有
是它的两个不相等的聚点，
不妨设
中的点，设
中有穷多个点，这与是聚点矛盾. 因此，若
2． 设函数f 在(a, b) 内可导，且单调. 证明在(a，b ) 上连续.
【答案】设内递增且以定理知，
因为f (x )
在
可导，所以
.
于是
由
的任意性知
在(a，b ) 内递増.
设
则
在某个
内递增且以
为上界，
在
为下界. 根据单调有界定理知，极限
都存在. 再由导数极限
在(a, b) 内连续
3． 应用凸函数概念证明如下不等式：
(1) 对任意实数a ，b , 有(2) 对任何非负实数a ，b ，
有【答案】有
上的凹函数. 故由定义可知，对任意非负实数即
有
因，
恒成立，故
是
上的凸函数，令定义中的当
时
.
从而
则
是
4． 设在上可导，且
使得
为n 个正数. 证明在区间内存
在一组互不相等的数
【答案】用上例的思路来证明之. 令
以及
显然得一点
使
.
再在
如此下去，可以求出
在每一个小区间. 上，对即
亦即
将上式对
从到n 求和，可得
5． 证明：若
【答案】
6． 证明下列不等式：
【答案】(1)
因为等于1或
所以由积分不等式
•
取上对
•
在
. 使得
上对应用介值定理，可以求
使
总之，我们有
，使得
应用介值定理，
又可求得一点
应用拉格朗日中值定理，存在
存在，则
在上连续，且不恒
即(2) 因为在(3) 由于在
上，
且函数不恒等于1和所以有
上，
所以有
(4)
设
则
得
在
上惟一的驻点为
为函数
为
在在
可验证它是极大值上的最大值，
又
上的最小值，
从而
点，而可导函数惟一的极大值必为最大值，
所以
且
由此得
故
二、解答题
7． 求曲面方程
知Po 应满足：
解得
故所求切平面为：
8． 求三叶形曲线
所围图形的面积。
的切平面，使其垂直于平面
和
【答案】设曲面在点，
：处的切平面垂直于所给两平面，由曲面在点P 。处切平面
【答案】如图所示，所围图形的面积为