2017年南京师范大学教师教育学院878数学学科基础[专业硕士]之数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列结论：
(1) 函数(2) 符号函数【答案】(1) 假设
不存在原函数；
不存在原函数. 则
于是
当
即
时
有
当
时
有
由
于
连续，所
以
从而
这与(2) 假设
矛盾.
由拉格朗日定理得
这说明
在点
不可导，与
相矛盾.
2． 区间上的连续函数如果在任何有理点为零，证明:此函数恒为零.
【答案】利用连续函数的局部保号性. 设函数为在有理点列
可以证明对于任意的无理点，函数值都为零，对于区间上的任意无理点使得
则由函数的连续性可知
即证得在任意的无理点处函数值都为零.
又由已知函数在任何有理点为零，故此函数恒为零.
第 2 页，共 33 页
存
3． 设在
证明
在
【答案】
因为
内成立不等式
上一致收敛且绝对收敛.
关
于都笮
.
若在上一致收敛，
一致收敛，所以
任给. 因为
，
存在所以
对
任何
即
4． 设f 为
一致收敛且绝对收敛.
上的增函数，其值域为
都存在.
设
同理有假
设时
，
这与f 的值域为
或
者
证明f 在
上连续. 设
. 因为f 为因为
当
因为为
当
矛盾. 故f 在则不存
在
时
使
得时
的间断点，
【答案】用反证法. 假如f 在上的增函数，所
以所
以
于是或
者
上不连续，则f 有间断点.
由函数极限的保不等式性得
这是因为：
当
而
上连续.
5． 证明：级数1]上却不一致收敛。
【答案】对任意
级数收敛，故
在[0，1]上绝对并一致收敛，但由其各项绝对值组成的级数在[0，
记
大值，所以
从而下面讨论级数
故原级数在由于
所以原级数在
数在
上却不一致收敛.
上绝对并一致收敛，但其各项绝对值组成的级上一致收敛.
则
进而可得
时在
上取得最
第 3 页，共 33 页
6． 证明：tanx
在
且
②由令
上无界，而在任一闭区间
故tanx 为则对一切
都有
上的无界函数.
上有界.
则
【答案】①对任意正数M ，以1和M+1为两直角边作一直角三角形. 设其较大的锐角为
可知，tanx 在[a, b]严格递增，从而当
时，
. 故tanx 在[a, b]上有界.
二、解答题
7． 设
定义函数
【答案】函数
在D 上可积，且
证明：因为
在D 上的不连续点都分布在线段
则
于是
8． 展开
在
上的傅里叶级数.
另外
因此
在
上的傅里叶级数为
9． 设V （t ）是曲线
【答案】由旋转体体积公式可得
第 4 页，共 33 页
上，
由可积的充分条件知
它们的面积分别为其积分和为
在D 上可积。对D 的任一分法T , T 将D 分成n 个小区域
在上任取一点
【答案】因为f (x ) 为偶函数，所以
. 在上的弧段绕x 轴旋转所得的体积，试求常数c ，
使