当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明:

【答案】

2． 设随机变量变量.

【答案】

令

两边取对数，并将

展开为级数形式，可得

所以

的方法知结论成立.

3． 设总体为

证明样本均值和样本中程【答案】由总体这首先说明样本均值为求样本中程注意到

而

正是

的特征函数，由特征函数的唯一性定理及判断弱收敛则由X 的特征函

数

可

得

证明:当

时，随机变量

按分布收敛于标准正态

为样本，

都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得

是的无偏估计，且

的均值与方差，

令

第 2 页，共 42 页

因而

则

由于从而

这就证明了样本中程是的无偏估计. 又注意到

所以

从而

于是

在

时,

这说明作为0的无偏估计，在

比样本均值有效.

都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明

:

时，

故

样本中程

4． 设

也是一个分布函数.

【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因

为

于是

（2）有界性. 对任意的X ，有

都是分布函数，故

当

时，

有

且

（3）右连续性.

第 3 页，共 42 页

5． 设存在，且N 与

为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，独立. 证明:

【答案】因为

所以

6． 设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且

有

存在，证明:对任意的

，

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

注:此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大:第一次放大被积函数；第二次放大积分区域.

7． 设

证明:

为独立的随机变量序列，且

服从大数定律.

所以由

服从大数定律.

:

的独立性可得

【答案】因为由马尔可夫大数定律知

8． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式

（1）（2）（3）

【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.

第 4 页，共 42 页