2018年安徽大学经济学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为独立随机变量序列，且
证明:
服从大数定律.
相互独立，且
故可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
2． 设A ，B ，C 为三个事件 ，且
.
证明:【答案】由所以得 3． 设在常数c
为独立同分布的随机变量序列，方差存在，令使得对一切n 有
则
证明:
服从大数定律.
对任意的
因而
证明有
所以由马尔可夫大数定律知
【答案】因
得
. 进一步由
得
. 又设
有
为一列常数，如果存
.
又因为
，
【答案】不妨设
服从大数定律.
4． 从正态总. 中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明:不管
，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布. 由于n=100，
，
先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
【答案】设的先验分布为其中所以
故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
5． 设二维随机变量
服从二元正态分布，其均值向量为零向量，协方差阵为
是来自该总体的样本，
证明:二维统计量
【答案】该二元正态分布的密度函数为
此处，
故
从而
注意到
上式可化解为
于是样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，结论成立.
是该二元正态分布族的充分统计量.
6． 设随机变量变量.
【答案】
令
两边取对数，并将
证明:当时，随机变量
则由X 的特征函
数
按分布收敛于标准正态
可
得
展开为级数形式，可得
所以
的方法知结论成立.
7． 设由
而正是的特征函数，由特征函数的唯一性定理及判断弱收敛
可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证
明:样本相关系数r 满足如下关系
上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为|
即
，将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有
证明完成.
8． 证明:若
则对
有
并由此写出
与
其
中
【答案】由t 变量的结构知，t 变量可表示
为
且U 与V 独立，从而有
由于
相关内容
相关标签