2018年北京科技大学国家材料服役安全科学中心825高等代数考研强化五套模拟题
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2018年北京科技大学国家材料服役安全科学中心825高等代数考研强化五套模拟题（一）.... 2 2018年北京科技大学国家材料服役安全科学中心825高等代数考研强化五套模拟题（二）.. 12 2018年北京科技大学国家材料服役安全科学中心825高等代数考研强化五套模拟题（三）.. 22 2018年北京科技大学国家材料服役安全科学中心825高等代数考研强化五套模拟题（四）.. 30 2018年北京科技大学国家材料服役安全科学中心825高等代数考研强化五套模拟题（五）.. 39
一、分析计算题
1． 设
（2）当（3）当
时，求间.
（2）（3）设
中任一矩阵都与E 交换，故
，满足
，即
则这就证明了
是
C （A ）的一组基可取
故当
时有
，即B 是对角阵. 反之，对角阵也属于
.
的维数和一组基.
非空，
又是
中加法封闭和数量乘法封闭的子集，故构成子空
的一子空间记作
时，求
；
（1）证明:全体与A 可交换的矩阵组成
【答案】 （1
）显然
中全体对角阵所成的子空间
其维数为n.
和BA 的属于的特征子故
2． 设为AB 和BA 的非零特征值, 证明:AB 的属于的特征子空间空间
的维数相同. 【答案】
设
下面证明
设则于是由由
和
线性无关, 则线性无关, 则
故类似可证
是的基,
则
于是
线性无关.
线性无关.
故
3． 已知
（1）A 的特征多项式（2）A 的伴随矩阵
是6阶方阵A 的最小多项式, 且及其若当标准形. 的若当标准形.
试求
【答案】 （1）由A 的最小多项式
则A 必有特征值是
注意到初等因子为
（2）由（1）可知存在可逆矩阵P , 使于是
由于
的若当标准形依次为
故
的若当标准形为
4． 求
由6阶行列式因子
故
故A 的若当标准形为
则
从而.
由
, 得
于是A 的特征多项式
于是A 的
, 6阶不变因子
设
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【答案】
故
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