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一、证明题

1． 证明

:

分别取D 为

且

【答案】考虑二重积分因为

所以

故

2． 设f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内除仅有的一个点外都可导. 求证:, 使得

【答案】设函数f （x

）在点处不可导. 分别在（a , d ）上和在（d , b ）上对f （x ）用微分中值定理,

可得

和

其中

由此可得到

其中

3． 设函数f （x ）在点x=0的某邻域内有定义,

证明:

绝对收敛

存在且

. , 则有

从而

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,

和. 将以上两个等式相加, 可得

存在.

【答案】:由于

故=>:因为导数定义有

当

绝对收敛.

绝对收敛, 所以

, 又f （x ）在点x=0连续, 所以f （0） =0, 由, 即

绝对收敛时, 只能有

. （否则

与

.

的敛散性相同, 矛盾）.

二、解答题

4． 设有R 4中点列

【答案】因为

所以

5． 试问集合

与集合

是否相同？

【答案】给出的两个集合是不相同的, 第一个集合挖去了两条线段及

6． 将直角坐标系下Laplace 方程

【答案】设

则

类似可求

因此

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, 求

第二个集合挖去了一个点（a , b ）.

化为极坐标下的形式.

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7

． 设

【答案】对方程组

关于x

求导得

解之得

8． 求下列复合函数的偏导数或导数:

（1）设（2）设（3

）设

（

4）设（

5

）设（6

）设

求,

求

（2）

（3）

⑷

（5）由于

第

4 页，共 23 页

试求

, 求

求

求

求

【答案】（

1）令 u=xy, 则