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一、证明题

1． 设

在

上连续,

绝对收敛, 证明:

【答案】因为因为

绝对收敛, 当n 足够大的时候

由于的任意性, 所以命题成立.

2． 设函数f , g在x 0的某个领域上可导, 且

如果【答案】取

证明

由

其中A 是实数. 中值定理, 令

有

连续, 所以当n 足够大的时候

从而所以令

则

使得当

时, 有

将使

固定, 令

. 有

则由

知道

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于是,

所以

3

．

设

（1）因为

（2

）同理

4． 设曲线

证明

的周长和所围成的面积分别为L 和S

, 还令.

记（2）所以

证明:

【答案】（1）由题意知

【答案】由对称性知

5

． 设f （x ）在

证明:【答案】

及任意的实数h , 由泰勒公式, 有

在x 与x+h之

间,

上二次可微, 且

在x 与x-h 之间

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将上两式相减得

所以

固定h , 对上式关于x 取上确界, 可得

上式是关于h 的二次三项式, 由其判别式

可得

二、解答题

6． 设

（1）若在某（2）证明:若例如, 取

内有则在某

内有

保不等式性只能从则在0的任一空心邻域

内

（2）令使得当

因为

时, 有

所以

由于

即

同时, 由于

所以存在

使得当

时, 有

取

.

7． 求由坐标平面及x=2, y=3, x+y+z=4所围的角柱体的体积.

【答案】立体V （如图）在xOy 面上的投射区域D —即积分区域为图中阴影部分, 所以V 的体积

则

当

时

,

即在空心邻

域

内

有

即

所以存在

.

问是否必有

推出

但

.

? 为什么?

【答案】（1）不一定有