2018年山西大学数学科学学院833高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设行列式
，则方程，为
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
的根的个数为（ ）
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
有两个根
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.
记
A.
B.
C.
D. 【答案】D
【解析】由题设知，所以
3． 设
A. 合同且相似
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则A=（ ）.
则A 与B （ ）.
B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同.
4． 设线性方程组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】设即证 5． 设
A.
B.
C.
D. 【答案】B 【解析】
秩
或
但当a=1时，
秩
故
与
的解空间分别为
则
所以
,
故
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式使
的解都是线性方程组
的解, 则（ ）.
阶矩阵若矩阵A 的秩为则a 必为（ ）
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二、分析计算题
6． 设S 是酉空间V 的一个非空集合，记
证明:
是子空间，且
，并举例说明, 对任一
有
所以
即由又可见因此
的任意性知是V 的子空间. ，由题设知
不一定成立，如在酉空间
不是V 的子空间，但
7． 已知
是V 的子空间，所以
中, 取
, S
,
不一定成立. , 所以
【答案】对给定的集合S , 显然V 的零元素属于
（1）求A 的不变因子, 初等因子和最小多项式. （2）求A 的若当标准形. 【答案】 （1）用初等变换将
化为标准形,
于是A 的不变因子
是
最小多项式为
（2） A 的若当标准形为
8． 设A 是三级正交矩阵并且
（1）1是A 的一个特征值. （2）A 的特征多项式
可表示为
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初等因子
是
求证:
其中是某个实数.