2018年山西师范大学教育科学研究院809数学综合[专业硕士]之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设
与
为空间的两组基, 且
又
则（ ）.
A. B. C. D.B = A 【答案】C 【解析】令
由②有
将①代入④得
即故.
2． 设
则A 与B （ ）.
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
使
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①
②
③
④
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其中得
因此A 与B 合同
.
3
． 设
A 、B
均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、B
的伴随矩阵. 如果
的伴随矩阵为（
）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
且
所以
4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
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, 故再由是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式
则分块矩阵
则A 与B （ ）.
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
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的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
5． 设是非齐次线性方程组的两个不同解，
为任意常数，则Ax=b的通解为（ ）
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为但D 中
所以
不一定线性无关. 而
，因此
是的基础解系，
不是的特解，从而否定A ，C.
由于故
是
，因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
的基础解系. 又由
二、分析计算题
6． 设
（1）计算
为正定矩阵，其中A ，B 分别为m 阶对称阵和n 阶对称阵，C 为
，其中
是否为正定矩阵，并证明你的结论. ，有
（2）矩阵
是正定矩阵. 由（1）的结果可知，矩阵D 合同于矩阵
又因为D 为正定矩阵，所以矩阵M 为正定矩阵. 再由矩阵M 为对称矩阵，知称矩阵.
对
及任意的
有
即证
故
为正定矩阵-
也是对矩阵.
（2）利用（1）的结果判断矩阵【答案】 （1）由
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