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一、证明题

1． 证明酉空间中两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.

【答案】设由

到

及

是酉空间V 的两组标准正交基.

的过渡矩阵是

即

因为

是标准正交基, 所以

因此

由此得

即A 是一个酉矩阵.

2． 证明:在线性空间中, 其中条件（1）和条件（2）, 即

（1）在V 中存在零元素即对所有的（2）对所有的【答案】充分性. 由解, 设为

即

于是

由交换律知I 由方程

即V 中存在零元素 在V 中有解, 设为

则设

由交换律得的负元为

则

即条件（2）成立. 因为

都存在负元素

取定

使

一定存在

由

可换成等价条件:对于V 中任意两个元素

都有

使

由

有

在V 中有解, 设为

必要性. 对于V 中任意两个元素故

在乂中有解.

3． 设ASn 阶非数量矩阵. 证明：

（1）若（2）若

则

【答案】 （1）设若

则

且a , b, c不全为0，则

得

这与a , b, c不全为0且A 非数量矩阵矛盾，因此

则有

从而

则得A=E.这与A 非数量矩阵矛盾. 故

若

. 于是由

反之，若（2）由得

4． 证明

（1）如果

则由假设可得

是正定二次型，那么

是负定二次型：

（2）如果A 是正定矩阵，那么（3）如果A 是正定矩阵，那么（4） 如果【答案】（1）令则因

是正定二次型，所以设令设为

取定一组值

则可由

其中

且

线性表出，

，则

线性无关，

是n 级实可逆矩阵，那么

这里

是的

级的顺序主子式；

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而且当所以此时于是

即（2）

是负定二次型. （因A 正定）.

时，

不为0,

其中第1项为负定二次型.

在

（3）由（2）,

处的值，故小于或等于0. 因此

（4）