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一、计算题

1． 求由下列各曲线所围成的图形的面积:

（1）（2）

x

与（两部分都要计算）;

与直线y=x及x=2；

-x

（3）y=e、y=e与直线x=1；

（4）y=lnx，y 轴与直线y=lna，y=lnb（b>a>0） 【答案】（1）如图1，先计算图形D 1的囱积，容易求得的窄条面积近似于高为

与

的交点为（-2，2）

和（2，2）. 取x 为积分变量，则z 的变化范围为[-2，2]，相应于[-2，2]上的任一小区间[x，x+dx]

、底为dx 的窄矩形的面积，因此有

图形D 2的囱积为

（2）如图2，取x 为积分变量，则32的变化范围为[l，2]，相应于[l，2]上的任一小区间[x，x+dx]的窄条面积近似于高为

，底为dx 的窄矩形的面积，因此有

图1 图2

（3）如图3，取2为积分变量，则x 的变化范围为[0，l]，相应于[0，l]上的任一小区间[x，x+dx]的窄条面积近似于高为e x -e -x 、底为dx 的窄矩形的面积，因此有

（4）如图4，取y 为积分变量，则y 的变化范围为[lna，lnb]，相应于[lna，lInb]上的任一小区间[y，y+ dy]的窄条面积近似于高为dy 、宽为e 的窄矩形的面积，因此有

y

图3 图4

2． 计算下列对面积的曲面积分：

，其中为平面

，其中为平面

，其中为球面

，其中为锥面

的部分。

【答案】（1）在上，直线

。在xOy 面上的投影区域D xy 为由x 轴、y 轴和

上上被柱面

在第一卦限中的部分；

在第一卦限中的部分；

的部分；

所截得的有限

所围成的三角形闭区域，因此

（2）在上，成的三角形闭区域。因此

。在xOy 面上的投影区域为由x 轴、y 轴和直线

所围

（3）

在

上

，

，

在xOy 面上的投影区域

。由于积分曲面关于yOz 面和zOx 面均对称，故有

于是

（4）如图所示，在xOy 面上的投影区域D xy 为圆域而函数xy 和yz 关于y 均为奇函数，故

。由于关于zOx 面对称，

图

于是

3． 设有直角三角形，测得其两直角边的长分别为（7士0.1） cm 和（24士0.1） cm. 试求利用上述两值来计算斜边长度时的绝对误差.

【答案】设两直角边长度分别为x 和y ，利用勾股定理，得斜边长度为