2017年新疆师范大学概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 掷一枚不均匀硬币，一直掷到正、反面都出现为止. 记出现正面的概率为均抛掷次数.
【答案】记X 为直到正、反面都出现时的抛掷次数，则X 可取值2，3，…，且有
可以验证，这是一个分布列. 由此得X 的数学期望为
从上式中可以看出：p=0.9与p=0.1时的平均抛掷次数是一样的，都为91/9；p=0.8与p=0.2时的平均抛掷次数是一样的，都为21/4；而p 越接近于0.5时，E （X ）越小；若p=0.5，即掷一枚均匀硬币，则直至正、反面都出现的平均抛掷次数是3.
2． 在下列密度函数下分别寻求容量为n 的样本中位数
（1）（2）（3）（4）称, 所以
关于0.5对
=0.5, 于是样本中位数
的渐近分布为
所以
的渐近分布为, 所以相应的中位数为
所以
的渐近分
试求平
的渐近分布.
【答案】（1）先求出总体的中位数. 该分布是贝塔分布Be （2, 2）, 可以看出（2）正态分布
的中位数为
（3）该分布的密度函数为布为
（4）该分布的密度函数关于y 轴对称, 故相应的中位数为0, 所以
的渐近分布为
3． 某城市中共发行3种报纸A ，B ，C ，在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、30%订阅C 报，10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A ，B ，C 报，求以下事件的概率：
（1）只订阅A 报的； （2）只订阅一种报纸的； （3）至少订阅一种报纸的； （4）不订阅任何一种报纸的.
【答案】仍用A ，B ，C 分别表示订阅A ，B ，C 报，则有P （A ）=0.45，P （B ）=0.35，P （C ）=0.30，P （AB ）=0.10，P （AC ）=0.08，P （BC ）=0.05，P （ABC ）=0.03.
（1）P （只订阅A 报）=
其中
所以
P （只订阅一种报纸）=0.30+0.23+0.20=0.73.
（3）P （至少订阅一种报纸）
（4）P （不订阅任何一种报纸）=
4． 下面给出两种型号的计算器充电以后所能使用的时间（单位：h ）的观测值
表
设两样本独立且数据所属的两正态总体方差相等，且均值至多差一个平移量. 试问能否认为型号A 的计算器平均使用时间明显比型号B 来得长（取
）？
【答案】这个问题可归结为关于两总体的均值是否相等的检验问题. 两正态总体方差相等但仍未知，故应采用两样本t 检验. 设X 表示型号A 的计算器充电以后所能使用的时间，Y 表示型号B 的计算器充电以后所能使用的时间，则依题意，
经计算，
从而
待检验的假设为：
（2）因为P （只订阅一种报纸）=
其拒绝域为
查表知：
由于检验统计量的
取值t ＞2.5176, 故拒绝可以认为型号A 的计算器平燧使用时间明显比型号B 来得长.
5． 从数字0, 1, …, n 中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望.
【答案】记X 与Y 分别为第1次和第2次取出的数字, 则
所以
6． 设随机变量X ，Y 的概率分布相同，X 的概率分布为的相关系数
求二维随机变量（X ，F ）的联合概率分布；求概率
且X ，Y
【答案】由于X ，Y 的概率分布相同，故
显然
相关系数
所以故又而
的联合概率分布：
所以故
从而得到故得到（X ，F ）
（2）