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一、计算题

1． 设二维随机变量（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布, 求极坐标

的联合密度.

【答案】因为（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布, 所以（X , Y ）的联合密度函数为

则

所以

由此得

和

的联合密度函数为

2． 箱子里有n 双不同尺码的鞋子，从中任取

（1）（2）（3）（4）样本点数.

（1）要使发生，可分两步走，先从n 双鞋子中任取2r 双，再从抽取的2r 双鞋子各抽取一只，故中的样本点个数为

由此得

（2）要使

发生，先从n 双鞋子中任取1双，再从余下的n-1双鞋子中取出2（r-l ）双，最

中的样点个数为

由此得

=“没有一双成对的鞋”； =“只有一对鞋子”： =“恰有二对鞋子”： =“有1*对鞋子”.

个等可能的样本点，这是分母，下面分别求各事件所含的

只，求下列事件的概率.

【答案】该问题中样本空间含有

后从取出的2（r-l ）双中各取一只，故

（3）仿（2）思路，

中的样本点个数为

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由此得

（4）因为中所含样本点个数为所以得

譬如，取n=5，r=2，可以得

3． 设

是来自如下总体的一个样本

（1）若的先验分布为均匀分布U （0, 1）, 求的后验分布； （2）若的先验分布为【答案】

的联合密度函数为

时，后验分布为

求的后验分布.

，当（1）对先验分布U （0，1）

（2）对该先验分布，当

时，后验分布为

4 己知随机变量X 与Y 的相关系数为ρ, 求．非零常数.

【答案】先计算然后计算

与

的方差与协方差

.

与的相关系数

.

所以当a 与c 同号时

而当a 与c 异号时

5． 若总体X 服从如下柯西分布：

而

是它的一个样本，试求μ的估计量.

【答案】由于柯西分布不存在数学期望，因此不能用一阶矩法估计得到μ的估计量.

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与的相关系数, 其中a , b , c , d 均为

若用最小二乘法，即使

为这时无偏性、有效性都失去意义，而且

最小，则得很难说的一个合适的估计量，因

，同分布（读者自行验证）说明也没有起到汇集

的信息的作用，因而，这个估计量的相合性也就无从谈起.

因此，我们转而讨论的最大似然估计. 其似然函数为

其对数似然函数为

对求导可得对数似然方程为

这个方程只能求数值解，比如用牛顿迭代法. 由于μ是总体分布的中位数，因此可以用样本中位数作为迭代的初值. 所求得的这个数值解即为的最大似然估计. 从似然角度看，该方法得到的估计要比样本中位数估计更好些.

6． m 个人相互传球，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余m-1个人中的任何一个. 求第n 次传球时仍由甲传出的概率.

【答案】设事件

为“第i 次传球时由甲传出”，记

所以由全概率公式

得递推公式

将P 1=1代入以上递推公式可得

特别，当譬如m=5， 则

最

后

时，有

则

且

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