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一、综合题

1． 如图, 求原点和给定点B 之间的一条光滑曲线，使质点靠重力由原点运动到B 点的时间为最短。

图

【答案】（1）运动分析。由能量守恒方程由坐标上的几何关系，得

令上两式相等，则有

（2）下降时间。上式可以改写为

所以

从而得到下降时间

（3）欧拉方程及首次积分。利用欧拉方程式，有

由

可以看出，F 不显含自变量

所以

因为F 是y 和的函数，所以

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得

此时欧拉方程变成

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由此可见，因而

该式亦称为欧拉方程的首次积分。 （4

）方程的求解。由

可得

所以

即

其中C 为待定常数。令

则

由上式可知

时，

又从上式可得

对上式积分，得

由

时，x=0, 可得4=0。令

最后可得

其中B 和可由给定的终点值和求得。

2．

对一单位负反馈系统

，

施加输入测试信号

其输出的零状态响应为

即意味着

（1）试确定系统的传递函数Y （s ）/R（s ）；（2）概略绘制系统的单位阶跃响应曲线；（3）指出该单位阶跃响应的主要特点。

【答案】（1）系统的传递函数为

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系统输出稳态值为

因此系统的单位阶跃响应曲线如图所示。 （3）将传递函数进行分解

可以看作过阻尼系统的脉冲响应，Y2（s ）为过阻尼二阶系统的阶跃响应，无超调，从

图可看出叠加后两者有超调但不振荡。

图

3． 系统框图如图1（A ）所示，要求将系统等效变换成图1（B ）和图1（C ）所示的框图结构，并求

的表达式。

图1

【答案】将图1（A ）中引出点后移，再将比较点合并得到方框图如下所示：

系统的进一步化简

图2

根据以上化简过程可知：

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