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一、证明题

1． 利用施瓦兹不等式证明:

（1）若f 在[a, b]上可积, 则

（2）若f 在[a, b]上可积, 且

, 则

（3）若f , g 都在[a, b]上可积, 则有闵可夫斯基（Minkowski ）不等式:

【答案】（1）根据施瓦兹不等式, 有

（2）由f （x ）可积, 且式, 有

（3）由施瓦兹不等式, 得

故

2． 设

在

上二次连续可微, 且

, 证明:

其中

,

知

可积, 从而_

|

可积, 于是根据施瓦兹不等

【答案】由Taylor. 展开式知

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①

取

代入①得到

②

对②积分得到

从而有

二、解答题

3． 计算

的法向与z 轴正向成锐角.

【答案】I 应分成三个曲面积分进行计算, 对于

. 因而积分对于

;

, 它在yOz 平面上投影区域D 为

, 曲面

, 由于曲面S 在xOy

平面上的投影曲线

, 其中S 是柱面

在

和

的部分, 曲面侧

, 曲面S 的方程为

侧的法向与X 轴正向成锐角, 是正侧, 因此

对于面块S 1和S 2.

设

xOz 上投影区域也为

, 它在xOz 上的投影区域为, 曲面的侧是负侧, 因此

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曲面S 的方程为, 它在zOx 平面上投影区域为曲面所

指定的侧有部分与y 轴正向夹角为锐角, 有部分与y 轴正向的夹角为钝角, 因而要将区域分成两曲

, 曲面的侧为正侧; 设

, 它在

4． 求下列函数的偏导数:

（1）设f （x , y ）在R 上二阶连续可微,

,

求（2）设

, 其中f （u , v ）具有二阶连续偏导数

,

解得

对上式及解得

（2）令

’则z =f（u , v ）, 于是

5． 设

（1）（3）

使得使得

, 则

（2

）令

（3）令

, 则

, 则

6． 将以下式中的（x , y , z ）变换成球面坐标

的形式:

【答案】将.

看成由①

和②

第

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2

, 且

二阶可导,

求

【答案】（1）对f （x , 2x ） =x两边关于x

求导得

两边关于x 求导得

试作数列:

, 于是

于是

, 于是

（2）{}使得【答案】（1）令

复合而成.