2018年福州大学离散数学研究中心611数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设E 为平面上一个有界闭集, 连续函数f 将E 一对一映为平面上的点集F , 证明:（1）F 也是有界闭集; （2） f 的逆映射也是连续函数.
【答案】（1）由E 为有界闭集, f 为连续函数, 显然F 是有界的. 下证F 为闭集. 设
为F 中的任意一个无限点集, 对于每个
即存在
的子列
存在一个使
则
从而为聚点, 即F 中的点均是聚点, 从而F 为有界闭集. （2）由f 是一一映射, 知由令上述由
在
连续, 即当
存在. 并且对当
时,
是F 上的连续函数. 上连续, 且
求证:在【答案】令
内至少存在两个不同的点
, 则有
, 使
又因为
所以存在sinx 恒为负,
都与
于是F （x ）在则存在
矛盾. 又当, 使得
时,
, 故, 即
上有三个不同零点, 再用罗尔定理, , 使得
. 因若不然, 则在
内或F （x ）sinx 恒为正, 或F （x ）
时,
存在
使得 从而
在
连续.
的
它必有聚点满足
的任意性, 知
2． 设函数f （x ）在
3． 利用施瓦兹不等式证明:
（1）若f 在[a, b]上可积, 则
（2）若f 在[a, b]上可积, 且
, 则
（3）若f , g 都在[a, b]上可积, 则有闵可夫斯基（Minkowski ）不等式:
【答案】（1）根据施瓦兹不等式, 有
（2）由f （x ）可积, 且式, 有
（3）由施瓦兹不等式, 得
故
4． 设函数f 在
上二阶可导,
, 证明存在一点
【答案】f （x ）在x=a和x=b的一阶泰勒公式分别为
t
由此得到
于是
其中
或
, 并且满足
,
知可积, 从而_
|可积, 于是根据施瓦兹不等
, 使得
.
5． 设f 为定义在区间U , b）内的任一函数, 记内一致收敛于f
【答案】因为
故对任意
从而
取
, 当n>N时, 对任意
, 均有
在（a , b ）内一致收敛于f
6． 证明下列结论:
（1）设f （x ）在点x=0连续, 且对在则f （x ）
在则f
（x ）在【答案】（1）由由f （x ）在x=0处连续, 所以
故f （x ）在点
连续, 从而f （x ）在
, 于是对
令同理由（3）由
即f （X ）定号, 从而可知对
续, 利用（1）的结论知
7． 证明:
在
在得
对
得A=A+B,
即
,
令
有
得B=A+B, 即, 因为
, 于是都成立.
,
由已知得
上连续, 从而f （x ）在
上有界.
在x=0处连上连续.
两边取对数得
. 从而
上连续.
, 且f （X ）与f （-X ）同号, , 所以f （0）=l.对
上连续.
, 取x=y=0得f （0）=0.对
, 又
上连续. 上单调, 所以
和
都存在, 设
（2）易知f （0）=0.因为f （x ）在
当
时,
上连续;
, 且对
满足f （x+y）=f（x ）f （y ）,
（3）设f （x ）在点x=0连续,
上连续;
（2）设f （x ）在
上单调, 且对
满足f （x+y）=f（x ）+f（y ）,
满足f （x+y）=f（x ）+f（y ）, 则f （x ）
证明函数列
在（a , b）
在x=0处连续, 由（1）的结论知f （X ）在
上无界, 而在任一闭区间
【答案】①对任意正数M , 以1和为两直角边作一直角三角形. 设其较大的锐角为,