当前位置：问答库＞考研试题

一、解答题

1． 设f （x ）在区间I 上连续, 并且在I 上仅有惟一的极值点x 0, 证明:若而是f 的极大（小）值点, 则x 0必是f （x ）在I 上的最大（小）值点.

【答案】用反证法, 只对x 0是f 的极大值点的情形进行证明. 假设x 0不是f （x ）在I 上的最大值点, 则存在一点在

,

使

, 使得,

取

（不妨设

,

则当

. 由连续函数的最大最小值定理知, （f x ）

）

时

,

,

即

是f

上存在最小值m.

因为

, 而x 0是f （x ）的一个极大值点,

所以存在

（x ）的一个极小值点, 这与在I 上仅有惟一极值点x 0矛盾. 故原命题成立.

2． 设' ,

【答案】因为

求

所以由链式法则得到

最后以

3． 讨论级数

代入即可.

的敛散性.

【答案】用柯西收敛准则. 取显

然

,

, 让自然数k 适当大, 取

, 考

察

,

第 2 页，共 34 页

. 注意到,

当时,

有

因此

这里用到了

4． 设S 是椭圆

面面,

的上半部分,

点

. ,

为S 在点P 的切平

（当k 适当大时）. 由柯西收敛准则可知, 原级数发散.

为点0 （0, 0, 0）到平面的距离, 求

【答案】设（X , Y , Z ）为上任意一点, 则的方程为

由此易知

由S 的方程

有,

于是

其中

:

是S 在xOy 平面上的投影.

作极坐标变换容易求出:

5． 设函数, 的周期为

, 且

试利用, 的傅里叶展开计算

的和数.

【答案】傅里叶系数

由于f （x ）在

上连续, 由收敛定理知对

第 3 页，共 34 页

, 有

在端点x=0和令

, 有

处, 其傅里叶级数收敛于

, 故

6． 求下列各函数的函数值:

（1）（2）

（3）

【答案】 （1）

求

,

求,

求

.

（2）

（3）

7． 设

, 且

, 考察级数可知

. 而

所以

即所考察的级数收敛. 但由

I

可知, 8． 在

平面上, 光滑曲线L 过（1, 0）点, 并且曲线L 上任意一点

为常数）.

第 4 页，共 34 页

的绝对收敛性.

【答案】由

发散, 故原级数为条件收敛.

处的切线斜

率与直线OP 的斜率之差等于ax （

（1）求曲线L 的方程；