2018年广西大学数学与信息科学学院624数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列函数在指定区间上的单调性:
（1）（2）（3）
【答案】（1）设故（2）设
在
上严格递增.
那么,
由
可得
于是增.
（3）
, 则
所以
那么,
故
在
上严格递减.
有n+1个相异的实根, 则方程
, 并且
至少有n 个相异实根. 上应用罗尔中值定理知,
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上严格递增; 上严格递増; 上严格递减.
那么,
由此可得. 即故在上严格递
2． 证明:设f 为n 阶可导函数, 若方程实根.
【答案】设方程对f （x ）在区间存在再对
使得
在n －1个区间
至少有一个
的n+1个相异的实根为
, 即
上应用罗尔中值定理知,
存在续下去可得,
3． 证明:级数
【答案】考察
使得
至少有n －2个相异实根,
发散于
, 即至少有n －1个相异实根. 如此继至少有一个实根.
.
显然m 适当大时, 有
从而
4． 证明级数
【答案】由微分中值定理, 有
从而
又
所以级数
收敛, 并且其和小于1. 收敛, 并且其和小于1.
. .
,
, 使
, 由于级数的通项趋于0, 故当
二、解答题
5． 求极限
【答案】先求
为此令
, 取对数得lny=xlnx.而
故
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再令而
（1）
, 则
由于
和
所以式（1
）的极限等于0, 从而原极限=1.
6．
求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面:
（
1）
在点 （2
）
, 在点
【答案】
（1）因
所以切线方程为
即
法平面方程为
即
（2）令
所以
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