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一、证明题

1． 设（

）为n 维随机变量, 其协方差矩阵

存在. 证明:若

使得

,

则以概率1

在各分量之间存在线性关系, 即存在一组不全为零的实数

【答案】由于使得

另一方面,

方差为零的随机变量必几乎处处为常数, 故存在常数a , 使得

2． 设连续随机变量X 的密度函数P （X ）关于c 点是对称的，证明：其分布函数F （x ）有F （c-x ）=1-F（c+x）

，

由

对上式右端积分作变量变换y=c-t，则

再对上式右端积分作变量变换z=c+y，则

结论得证.

对称分布函数的这个性质可用图表示：

【答案】由p （x ）关于c 点是对称的，知

意味着B 非满秩, 故存在一组不全为零的实数向量

图

3． 设总体X 的密度函数为：

为抽自此总体的简单随机样本.

（1）证明：【答案】（1）令

即

的分布与无关，并求出此分布.

的置信区间.

则

的分布与无关，其密度函数为

由于从而求得

4． 若

【答案】由

在

上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为

试证

：

得

所以得

即

所以

即

由此得

即

5． 从正态总体

中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明：不

，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布由于n=100，所以

故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.

（2）求的置信水平为

的密度函数为

（2）取c , d 使得

的置信区间为

管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.

【答案】设的先验分布为中

其

6． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.

【答案】因为

所以A-B 与C 独立.

7． 证明

：

【答案】不妨设另一方面，还有

综合上述两方面，可得

8． 如果

且.

有

故当即对任意的

时, 有

有

于是有

从而

成立, 结论得证.

则

试证:P （X=Y）=1. 【答案】对任意的

二、计算题

9． 以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数

试由这批数据构造经验分布函数并作图. 【答案】此样本容量为10, 经排序可得有序样本:

其经验分布函数