2018年山东科技大学数学与系统科学学院712数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明函数
【答案】因为
（x ）
在[0, 1]上的不连续点是故可积.
因此, 存在现设
设
于是有, 使对
的任何分法, 只要
是, 又显然有
所以f （x ）在[0, 1]上可积. 2． 设
【答案】先用数学归纳法可证:
再用数学归纳法证明:
显然
归纳假设
则
从而②式成立. 由①, ②式知.
单调递增有上界, 注意到
极限存在, 可设
②
①
证明:
收敛, 并求其极限.
的满足1
就有
的任意分割.
因此,
.
. 任给
f x ）, 由于（在
上只有有限个间断点,
在[0, 1]上可积.
, 所以f （x ）在[0, 1]上有界, 且在[0, 1]
的任何部分区间上的振幅
二、解答题
3． 研究函数
当y ＞0时,
的连续性, 其中f （x ）在闭区间[0, 1]上是正的连续函数.
.
【答案】由于f （x ）在[0, 1]上是正的连续函数, 故存在正数m , 使得
,
当y ＜0时,
因此
所以F （y ）在y=0处不连续, 当
时
在[0, 1] ×[c, d]上连续, 所以当.
时, 函数
F （y ）连续.
4． 试将下列积分用欧拉积分表示, 并指出参量的取值范围:
【答案】（1）（2）
5． 设定义在
由
由p+l>0得p>﹣1.
上的函数, 在任何闭区间
上有界. 定义
上的函数:
试讨论（1）
【答案】（1）如果把x 看作时间, 那么最小值）. 间
时,
则表示从
,
对一切
到
期间
内单调递减到最小值-1,
并且
表示从
到
与
的图像, 其中
期间
的下确界（有时是
在区
当
时
,
的上确界（有时是最大值）. 函数是它的最大值. 于是,
当总有
即
（2）同理可得
（1）与（2）的图像分别如图1和图2所示.
和得和.
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图1
图 2
6． 求下列不定积分:
（1）（3）（5）
（7）（9）（11）（
13
）（15
）（17）【答案】 （1）
（2）
（3）（4）
（2） （4） （6） （8） （10） （12） （14） （16）（18）
.