2018年青岛大学数学与统计学院880数学基础综合[专业硕士]之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 求下列线积分:
（1）（2）
【答案】（1）令
,
.
A （0, 0, 0）B （1, 1, 1）
在全平面成立, 所以线积
分在全平面上与路径无关, 这时必有原函数存在. 为求被积表达式的原函数, 先求积分
所以原函数
因而
（2）记被积表达式为, 则的外微分为
所以线积分在全空间上与路径无关. 为求的原函数, 先求三个不定积分:
所以原函数为
因而
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2． 求由抛物线
与
所围图形的面积.
【答案】该平面图形如图所示. 两条曲线的交点为（
-1, 1）和（1, 1
）, 所围图形的面积为
图
3．
在抛物线
【答案】设
哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短.
为抛物线
上的一点, 则过该点的切线斜率为:
故点
处的法线方程为:
设法线与抛物线
的另一交点为
, 则由韦达定理可知, 两交点的距离d 满足
令由
, 得
,
则
. 故所求点的坐标为
,
, 那么由方程
. 和
得
于是
4
．
设y=F（x ）和一组函数（u ）. 试用
【答案】由
表示
可以确定函数v=v
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5． 求极限
【答案】令
（k 为自然数）.
, 由
可得原极限
.
6． 求下列函数在x=l处的泰勒展开式:
（1）（2）（3）【答案】（1）
所以f （x ）在x=l处的泰勒展开式为
（2）因所以
（3）因
所以
7． 求曲面
的切平面, 使其垂直于平面
和x －y －2=2.
而
这
在x=0处的幂级数展开式为
【答案】设曲面在点知P 0应满足:
处的切平面垂直于所给两平面, 由曲面在点处切平面方程
解得
故所求切平面为:
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