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一、证明题

1． 证明级数

收敛的充要条件是:任给正数序在某正整数N ，对一切n>N总有

【答案】充分性 任给正数存在正整数N ，对一切n>N，总有

当然对n>m>N的m

有从而

由柯西准则知级数收敛. 必要性 若级数

收敛，由柯西准则知对任给正数存在自然数N 1，当n>n> N1时，

特别地，取N ＞N 1 + 1, 则对任意n>N, 有

2． 设f （x ）在[a, b]上二阶可导, 且

, 证明:

（1）

（2）又若,

, 则又有

.

【答案】由

知f （x ）为凸函数, 所以根据定理, 对[a, b]上任意两点x , t 有

（1）在（*）式中令

, 得

在[a, b]上两边对x 求定积分, 得

故有

（2）（*）式两边在[a, b]上对t 定积分, 得

从而对任意的

, 有

*）

（

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由即

3． 设

证明:当

时, u ,

v 可以用来作为曲线坐标,

和

并

, 可得

. 故有

解出x

, y

作为u , v 的函数；画出xy 平面上u=l, v=2所对应的坐标曲线；计算验证它们互为倒数.

【答案】

所以

故当

时,

都连续且

由反函数组定理知, 存在函数组x=x

（u , v ）

, y=y

（u , v ）, 从而u , v 可以用来作为曲线坐标.

由

解得

u=l, v=2分别对应xy

平面上坐标曲线y=tanx, y=2sinx

; 如图1

、2所示

图1 图2

因

而前面已算得

即

与

互为倒数.

二、解答题

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4． 求n

维角锥

【答案】令

,

的体积.

则

可得

5． 设

（1）（3）

使得使得

, 则

（2）令（3）令

, 则

, 则

6． 计算第二型曲面积分

（1）

于是

, 于是

（2）{}使得

, 于是

【答案】（1）令

试作数列:

（2）S 是不含原点在其内部的光滑闭曲面; （3）S 是含原点在其内部的光滑闭曲面. 【答案】（1）

（2）

所以