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一、计算题

1． 设二维连续随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

试求条件密度函数【答案】因为当

时,

所以当

时,

这是均匀分布

其中

可见, 这里的条件分布实质上是一族均匀分布.

2． 一个小学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的小学学生平均每周看8h 电视. ”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字. 为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时间（

）？

【答案】由于本题中样本量较大，可认为样本均值服从正态分布，依题意，需要建立的原假设和备择假设为

若取

则

拒绝域为

由样本观测值计算得：

因而拒绝原假设，认为这位校长的看法是对的.

3． 设

【答案】记

为来自

的样本，试求假设样本的联合密度函数为

两个参数空间分别为

利用微分法可求出在上MLE , 于是似然比统计量为

通过简单的求导计算可知，函数是

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样本标准差为s=2h.问是否可以认为这位校长的看法是对的

的似然比检验.

分别为的MLE , 而在上为u 的

在（0, 1）区间内单调递增，在（）上单调递减，于

从而似然比检验等价于采用检验是等价的. 4．

做检验统计量，也就是说，似然比检验与传统的双侧卡方

是取自总体X 的样本，已知y=InX服从正态分布N （μ, 1）

（1）求μ的置信水平为95%的置信区间；

（2）求X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间. 【答案】（1）将数据进行对数变换，得到y=InX的样本值为

它可看作是来自正态总体N （μ，1）的样本，其样本均值为信水平为95%的置信区间为

（2）由于95%的置信区间为

5． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

求E （X ）, E （Y ）, Cov （X , Y ）. 【答案】

6． 某种配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目分别是10，53，46. 按照某种遗传模型其频率之比应为

则要检验的假设为

此处

大似然法估计P. 其似然函数为

再微分法可得于是从而

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由于σ=1已知，因此，的置

是的严増函数，利用（1）的结果，可算得X 的数学期望的置信水平为

，问数据与模型是否相符？

【答案】这是一个分布拟合优度检验，总体可分为三类.

若记三类出现的概率分别为

由于含有一个未知参数P ，需要将之估计出来，用最

查表知

能拒绝

故拒绝域为

观察结果

7． 从一个装有m 个白球、n 个黑球的袋中进行有返回地摸球，直到摸到白球时停止. 试求取出黑球数的期望.

【答案】令X 为取到白球时已取出的黑球数，则Y=X+1服从几何分布

所以

E （Y ）=（n+m）/m=n/m+l，由此得E （X ）=E（Y ）-l=n/m.

8． 设某元件是某电气设备的一个关键部件, 当该元件失效后立即换上一个新的元件. 假定该元件的平均寿命为100小时, 标准差为30小时, 试问:应该有多少备件, 才能有0.95以上的概率, 保证这个系统能连续运行2000小时以上？

【答案】记为第i 个元件的寿命, 如下不等式

再由林德伯格-莱维中心极限定理可得

由此查表得

, 从中解得

, 所以取

, 即应有23个此种元件, 可

. 则

, 根据题意可列

不落在拒绝域，因此不

即可以认为数据与模型是相符的. 此处的P 值为

有0.95以上的概率保证这个系统能连续运行2000小时以上.

二、证明题

9． 设

也是一个分布函数.

【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因为于是

（2）有界性. 对任意的x ，有

且

（3）右连续性.

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都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明：

都是分布函数，故当

时，有