2017年解放军信息工程大学070100数学概率论与数理统计复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 某班级学生中数学成绩不及格的比率X 服从a=l，b=4的贝塔分布，试求
【答案】贝塔分布Be （1，4）的密度函数为
且由
知
2． 用4种安眠药在兔子身上进行试验，特选24只健康的兔子，随机把它们均分为4组，每组各服一种安眠药，安眠时间如下所示.
表1 安眠药试验数据
在显著性水平下对其进行方差分析，可以得到什么结果？
表
2
【答案】这是一个单因子方差分析的问题，根据样本数据计算，列表如下：
于是
根据以上结果进行方差分析，并继续计算得到各均方以及F 比，列于下表：
表3
在显著性水平
，差别. 此处检验的p 值为
3． 在总体N （7.6, 4）中抽取容量为n 的样本, 如果要求样本均值落在（5.6, 9.6）内的概率不小于0.95, 则n 至少为多少？
【答案】样本均值
从而按题意可建立如下不等式
即
即
样本量n 至少为4.
4． 己知
【答案】由乘法公式知
所以
5． 设
是来自几何分布的样本，总体分布列为
θ的先验分布是均匀分布U （0，1）. （1）求θ的后验分布；
（2）若4次观测值为4, 3, 1，6, 求θ的贝叶斯估计. 【答案】（1）样本和θ的联合密度函数为
于是
所以
查表,
函
故
或
,
下，
查表得
拒绝域为
由于
故认为因子A （安眠药）是显著的，即四种安眠药对兔子的安眠作用有明显的
因此，θ的后验分布为
（2）当有观测值为4, 3, 1，6时，θ的后验分布为Be （5, 15）, 若采用后验期望估计，则有
6． 设随机变量X 服从正态分布
【答案】由题设条件知
由此得
7． 设
所以
的标准差.
若
.
试求
是从正态总体N （10, 9）中抽取的样本, 试求样本均值
,
的标准差为
【答案】来自正态分布的样本均值仍服从正态分布, 均值保持不变, 方差为原来方差的1/n, 此处总体方差为9, 样本容量为8, 因而
8． 已知事件A ，B 满足
【答案】因为
由此得
所以
记P （A ）=P，试求P （B ）.
二、证明题
9． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?
【答案】设共投掷n 次，记事件则
由
得
两边取对数解得
所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点
为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.
数为6的概率大于1/2.
10．设分布函数列
【答案】对任意的对取定的N , 存在因而存在
因此有
使当
弱收敛于分布函数且
和都是连续、严格单调函数,
又设
关于x 是一致的,
服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:
对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有
使有时, 任对
, 有
存在充分大的M , 使有
对取定的h , 因为