2017年大连海洋大学环境科学与工程601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明：对正态分布
若只有一个观测值，则
的最大似然估计不存在.
【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为
该函数在似然估计不存在.
2． 设总体
【答案】令
则
对上式求导易知，当
时上式达到最小，最小值为
它小于的均方误差
时趋于
这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，
从而
的最大
是样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合
估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
3． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有
（1）（2）（3）且从（1）在
则
所以
（2）
（3）
，
【答案】因为p （X ）是一个偶函数，所以P （-x ）=P（x ）
4． 设随机变量X 与V 相互独立, 且证:
相互独立, 且
【答案】因为X 与Y 的密度函数分别为
试
下求（U , V ）的联合密度函数,
因为可比行列式为
所以, 当
时, 有
可
见
5． 设随机变量量.
【答案】
令
, 两边取对数, 并将
所以
收敛的方法知结论成立.
而
正是
的特征函数, 由特征函数的唯一性定理及判断弱
, 则由X 的特征函数
..
展开为级数形式, 可得
可
得
可分离变量, 故
, 证明:当
时, 随机变量
按分布收敛于标准正态变
U
与
V
相互独立, 其
中
的反函数为
, 且变换的雅
6． 设随机变量序列数, 并求出c.
【答案】因为
独立同分布, 且令, 试证明:其中（3为常
, 且
所以由切比雪夫不等式得, 任对即即
7． 设明:统计量
（1）若函数
也存在. 于是其中（2）若（0,
, 当
则
时,
）上取值, 所以当
再由本节第3题知
有
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （x ）是连续严增函数, 证
服从
这是因为F （x ）的反
当
时, 有
分布函数, 即
（2）. 相互独立, 由（1）
所以
仅在
（2）. 这是由于y 仅在（0, 1）上取值, 故
【答案】分几步进行:
且F （x ）为连续严增函数, 则
的分布函数为
这是参数为1的指数分布函数, 也是自由度为2的（3）由与（2）可知
的相互独立性可导致
8． 验证：泊松分布的均值λ的共轭先验分布是伽玛分布.
【答案】泊松分布的概率函数为数为
对来自泊松分布
的样本
的后验分布为
若的先验分布为伽玛分布，其密度函
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