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一、选择题

1． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C.

2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

【答案】D 【解析】

3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选

从而否定A ,

若选

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使AB=0, 则（ ）

.

由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

时，

则线性方程组（ ）•

中选三个向量组

从而否定C ,

故选B.

4． 设行列式

为f （X ），则方程，f （x ）=0

的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

5． 设

为空间的两组基，且

又

则（ ）•

【答案】（C ）

【解析】令由②有

将①代入④得

即

二、分析计算题

6． 用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩：

（1）

（2）

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【答案】（1）作下列矩阵A , 把分别排为它的1, 2, 3, 4列，

对它作初等行变换化成阶梯形

.

最后的矩阵中第1, 2, 4列构成列向量组的极大线性无关组，秩为3. 而初等行变换不改变列向量之间的线 性关系. 故A 的第1，2, 4列也构成A 的列向量组的极大线性无关组，即

的一个极大线性无关组，秩为3.

（2）类似于（1）中的计算过程可得

7． 设A 是n 级反对称阵，证明:

（1）当为奇数时，（2）A 的秩为偶数.

【答案】先证若A 是反对称阵，则有在实可逆阵T ，使

当n 为偶数时，

是一实数的完全平方； 是一个极大线性无关组，秩为3.

是

用数学归纳法，当n=l时，当n=2时，若

对偶作初等变换，第2行乘

结论①显然成立. 同时第2列也乘

即

若a=0时，结论①成立.

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