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一、分析计算题

1． 算出行列式

（1）

（2）

的全部代数余子式. 【答案】⑴

（2）

2． 证明：

如果向量组

线性表出.

【答案】由题设有不全为零的

数

现来证

且有

乘以

则得

即可由

3． 设V 与

（1）试证

线性表出.

同上题，K 是V 的一个子空间. 令是V 的子空间（

则

； 称为K 的正交补）

首先由

又若

知f 在K 上是非

有

则显然有

使

与题设

用反证法，若

由

使

不全为零，故将

将

移项，得不全为零，

两端同

线性无关，

而

线性相关，

则向量

可以由

线性无关矛盾.

故

（2）试证，如果

【答案】（1）略证. （2）只要证

.

对所有

从而有

故

若K=V，则已得到证明. 现设都成立.

即

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退化的. 又K 是真子空间，由上题证明中的（2）及（3）知，

对任意

于是

4． 设A 、B 均为n 阶方阵，

【答案】

5． 设A 为n 阶方阵

（1）试证：（3）试证：

（4）如A 的秩为n , 试解（5）如A 为非奇异，试解:（6）如A 为非奇异，试解:【答案】（1）设

则

E 为n 阶单位矩阵

，

的秩也为n ；

为A 的伴随矩阵，

为A 的行列式.

（2）如A 为非奇异，

试证

由于因此

（2）仿（1）还可证. 由定义得

（3）设

再设

那么

为行列

中划去第j 行和第i 列的代数余子式

由此即证（4）若秩

那么由上面①式有

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所以

，其中每行提出公因子a 后，可得

（n-1阶行列式）

所以

即秩（5）因为

由上面②式两边取逆可得

换A 得

（不一定A 非奇异）都有

可逆，用

左乘①式两边可得

另一方面②式中，用

（

由③，④即证（6）可以证明对一切事实上，由于因此（i ）当秩A=n时在⑥式中用A 换A*得

（ii ）当秩

时，则秩

从而秩

. 放

综合⑦，⑧两式，即证⑤成立. 6．

【

7． 由行列式定义证明：

通常称为

答

的距离，证明：

案

】

【答案】由定义，行列式中一般项为

其中是一个5级排列, 因为在这个行列式中

所以当

；中有一个等于3或4或5时，此项为0. 但是

而且各不相同，

因此至少有一个

8． 在线性空间中，证明：

（1）k0=0；

大于或等于3, 由此可知每项都为0, 因而行列式0.

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