2017年南京农业大学理学院822高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
2． 设A 是矩阵，
A. 如果B. 如果秩
则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. 有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
. 有非零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
3． 设
又
秩
未知量个数，
为空间的两组基，且
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
所以A 的特征值为3，3，0；而
则A 与B （ ）.
由②有
分别为A ，B 的伴随矩阵，
二、分析计算题
6． 设
为数域K 上全体n+1阶对称方阵作成的K 上的线性空间，
则所有数是
又易知所有非同类项的
项数，亦即从三个元素
这也就是
7． 设向量
（1）求向量组（2）求向量组（3）将向量组【答案】（1）将
的维数. 由于
的秩；
的一个极大线性无关组；
中其余向量表为极大线性无关组的线性组合.
按行排成5X4矩阵，并对其作初等行变换[非行交换]，有
的维数相同，故同构.
中每次取n 个的重复组合数，即
作成
的一基，其个数就是
’展开后
都是n+1阶对称方阵，共有
个且显然为
的一基. 因此，
的维
元素是1其余元素全为零的n+1阶方阵，令
是K 上三元n 次齐次多项
式作成的K 上的线性空间. 证明：
【答案】令
故向量组（2）由上述得知
的秩为3.
为向量组
的极大线性无关组.
（3）由初等变换过程易知：
8． 设A 是数域K 上的一个m ×n , 矩阵，B 是一个m 维非零列向量. 令
（1）证明：W 关于
的运算构成
的一个子空间；
（2）设线性方程组AX=B的增广矩阵的秩为r. 证明W 的维数（3）对于非齐次线性方程组
求W 的一个基.