2017年南京理工大学理学院840高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
【答案】（A ）
2． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 3． 齐次线性方程组 的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵 使AB=0, 则（ ） . 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 【答案】C 【解析】若当C. 4． 设 A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 时， 由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D. 由AB=0，左乘 可得 矛盾，从而否定A ，故选 则A 与B （ ）. D. 既不合同，也不相似 【答案】B 【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知 B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似. 5． 设 A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A 【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值 又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵 其中 故A 〜B. 再由 是正交阵，知T 也是正交阵，从而有 且由①式得 则A 与B （ ）. 所以A 的特征值为3，3，0；而 使 因此A 与B 合同. 二、分析计算题 6． 求 其中 【答案】设. 为A 的特征多项式， 则 令 由①式得 再令 . 由①得 再由①有 在③式中令 得b=0.于是 在④式中，令 得 将 代入②得 再由①式得 7． 是n 维线性空间V 上的一个线性变换. （1）若（2）设有 ’在V 的某基下矩阵A 是多项式的最高次的不变因子是设 则 的伴侣阵，所以 的伴侣阵，则的最小多项式是 的最小多项式是 【答案】（1）因为A 是是A 的特征多项式，因此d （A ）=0, 即 则
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