2018年华北电力大学(北京)数理系692数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 设
【答案】
2． 试写出单位正方体为积分区域时, 柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.
【答案】在柱面坐标系下, 用z=c的平面截立方体, 截口是正方形, 因此, 单位立方体可表示为
为由方程
所确定的可微隐函数, 求gradz.
在球面坐标系下, 用
的平面截立方体, 截口是长方形, 因此单位立方体可表示为
和
和
其中
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.
3． （1）设级数
（2）讨论级数
在X 上一致收敛, 求证:级数的一般项
在x>0上的一致收敛性.
, 使得
在X 上一致趋于零;
【答案】（1）由一致收敛原理, 即得
在X 上一致趋于零.
p>1, 有
（2）对固定的x>0, 由
可知,
对任意固定的x 收敛. 但
因此根据（1）, 原级数在x>0上不一致收敛.
4． 应用高斯公式计算三重积分
,
其中V 是由【答案】
5． 求极限
其中 f （x ）在[0, 1]上连续, f （0） =0, 【答案】作变
换
所以
,
则
变
为
与
所确定的空间区域.
故
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6． 要把货物从运河边上A 城运往与运河相距为BC=akm的B 城如图,
轮船运费的单价是元/km, 火车运费的单价是元/km省.
, 试求运河边上的一点M , 修建铁路MB , 使
的总运费最
图
【答案】设
, 则
, 总运费
由
经检验
7． 求曲线
【答案】
令
8． 求不定积分
【答案】注意到
, 得时取最大值. 故
当在点
时,
当
处曲率最大.
时,
, 所以K （:r ）在
得
,
舍去负值
,
,
故M 点距
C 点的距离为上曲率最大的点
.
.
（km ）时总运费最省.
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