2017年哈尔滨工程大学水声工程学院814数学物理方法考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 沿x 轴在处的温度为
到
之间放一段长为处的温度为
且
截面积为的均匀柱体，它与外界绝热。
时，
其间温度线性地分布。设柱体的热传导率比热
的积分表达式。
时间内，该小段从左侧（高温一侧）吸收
及密度均为常量，各处的热膨胀均可略。试导出时刻处温度
【答案】
在柱体中取从
到的热量为
的一小段，
在
式中：为柱体的截面积。同时，该小段向右侧（低温一侧）放出的热量为
总的吸热量为
吸收的热量使
到
小段在到
时间升温
即
，得
由式（1）、式（2）
即
式（3）左边
是对的偏微商，式（3）右边的
这就是一维热传导的偏微分方程。 上述偏微分方程的解与
的初始分布
有关。由题设，初始分布为
的积分解为
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是对的二阶偏微商。即
2． 一宽为b 的无限长均匀带电平面薄板，其电荷面密度为
（1）平板所在平面内，距薄板边缘为a 处的电场强度；
（2）通过薄板的几何中心的垂直线上与薄板的距离为h 处的电场强度。
如图所示。试求：
图
【答案】建立如图所示的坐标系。在薄板上取一宽为dx 的窄条，视为无限长均匀带电直导线，其单位长度上带的电量为
（1）它在
点产生的电场强度大小为
整个薄板在
点产生的电场强度大小为
E 的方向：当（2）窄条在
时，沿x 轴正方向；当点产生的电场强度大小为
则整个薄板在点产生的电场强度的分量各为
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时，沿x 轴负方向。
E 的方向：当
3． 一木杆质量以
时，沿y 正方向；当长
时，沿y 负方向。
的子弹
可绕通过其中心并与之垂直的轴转动。一质量
的速度射入杆端，其方向与杆及轴相正交。若子弹陷入杆中，试求杆所得到的角速度。
【答案】子弹射入杆端并陷入杆中的过程，子弹与杆组成系统的动量矩守恒，有
解得
4． 如图为一无限长带电体系，其横截面由两个半径分别为为
电荷体密度为
半径为
和的圆相交而成，两圆中心相距
的区域内充满
的区域内充满电荷体密度为的均匀正电荷，半径为
的均匀负电荷。试求重叠区域内的电场强度。
图
【答案】如图（a ）, 在重叠区内任取一点P , P 点到左、右无限长均匀带电圆柱体轴线的垂直距离分别表为b 和c 。因左、右圆柱分别带正、负电，故它们在P 点的场强向（b 和c 的方向分别标明如图（b ））。如上题，作同轴的长为可由高斯定理分别求出
和
为
重叠区内任意P 点的场强为
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和分别沿b 和-c 方
半径为b 和c 的圆柱形高斯面S 和
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