2018年大连海洋大学畜牧学715高等数学Ⅱ之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
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2． 设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为
（
2
）若
【答案】（1）由题意知
，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/对应的矩阵为
（
2）证明
：设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
3． 设二次型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】（Ⅰ）由
知，
矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0
的解向量.
为标准形，
并写出所用正交变换；
矩
阵A 满足
AB=0, 其中
，由于
所以为矩阵对应特征值所以为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
记
值（至少是二重），
根据
有
则
是
的线性无关的特征向量.
由此可知，是矩阵A 的特征
故知矩阵A 有特征值
因此，矩阵A 的特征
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值是0, 0, 6.
设
有
对
正交化，
令的特征向量为
解出
则
再对
，单位化，得
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
于是
4．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B.
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