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一、综合题（计算、解答、证明）

1． 已知

和【答案】因为反对称序列。可令计算一次N 点IFFT 得到

由DFT 的共轭对称性可知

故

2． 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。

该系统就是因果系统，因为输出只与n 时刻的和n 时刻以前的输入有关。

因此系统是稳定系统。

因此系统是稳定系统。

则

系统是非因果的，因为输出还和则

因此系统是稳定的。

的未来值。如果

则

因此系统是稳定的。

是两个N 点实序列均为实序列，所以

分别作为复序列

的DFT , 希望从为共轭对称序列

求为共辄

为提高运算效率，试设计用一次N 点IFFT 来完成的算法。

的共轭对称分量和共辄反对称分量，即

【答案】（1）只要如果

果（3）如果假设（4）假设

则则

（2）该系统是非因果系统，因为n 时间的输出还和n 时间以后（（n+1）时间）的输入有关。如

因此系统是稳定的；

的将来值有关。

系统是因果系统，因为n 时刻输出只和n 时刻以后的输入有关。如果

（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于

3． 已知序列的z 变换为

收敛域为

用表示下面各序列的z 变换，

并指出各自的收敛域。

【答案】（a ）由z 变换的移位性质，得

收敛域：

，且

收敛域：

收敛域：

收敛域：

4． 已知（1）若

（2）若iV 为偶数且【答案】（1）将

得：

因为所以（2）令

则有：

的长度为N ，且

则

则

求证：

（d ）由乘以指数序列的z 变换，得

（c ）由z 变换的线性和翻转性质，得

（b ）由z 变换的线性和移位性质，得

因为：

5． 设取样频率为为

所以：

用冲激响应不变法设计一个数字低通巴特沃思滤波器，要求通带边缘频率

阻带边缘频率为

阻带衰减不小于

通带衰减不大子

【答案】模拟频率与数字频率之间是线性关系，所以有：

因为：取整得：

故归一化频率的参考频率：

查巴特沃思多项式系数表，当

时，归一化原型模拟低通巴特沃思滤波器的频率响应为：

将P 用

利用冲激响应不变法

代入可得到截至频率为

的模拟低通滤波器

把

展开成部分分式，

可得到：

6． 已知序列（1）计算（2）计算（3）画出

【答案】

本题的求解程序为（b ）和图 （c ）。

的波形图，观察总结循环卷积与线性卷积的关系。 程序运行结果如图所示。由图可见，循环卷积为线性卷积的

周期延拓序列的主值序列；当循环卷积区间长度大于等于线性卷积序列长度时，二者相等，见图