2018年河北工业大学理学院810数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导.
, 则F （0）=0, 且
【答案】令
求证:
, 使得
»
由此推出
下面分两种情况讨论: 第一种情况, 使得第二种情况
, 使得
使得
2． 设悬链方程为A （t ）.
该曲边梯形绕x 轴一周所得旋转体体积、侧面积和x=t处的截面面积分别记为
证明（:1）
【答案】（1）由弧长公式得
由定积分的几何意义可得
（2）旋转体体积为
侧面积为
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.. 根据罗尔定理, 有
*
,
即得
.
则
, 从而本题得证.
与F （1）异号,
于是根据连续函数的中间值定理可知上用罗尔定理, 有
. 从而本题也得证. 它在
上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为:s （t ）、
现在对F （x ）在
,
即得
（2） （3）
所以
（3）x=t处的截面面积为 所以
3． 设正项级数
【答案】令
收敛，证明：级数
则
对上式两边取极限得
4． 证明:对黎曼函数
【答案】
有
所以级数（当
收敛到
仍收敛，其中
或1时, 考虑单侧极限）
上的黎曼函数的定义为
对于任意的满足不等式的正整数q 只有有限个. 设内只有有限多个既约真分数使得
（若
为既约真分数, 则
取
.
若
使得则当
因而p 也只有有限个. 于是在
时, 有
内不含这有限个既约真分数.
则当
则当
故
5． 证明:若
【答案】因
为时,
故定的
因此
是因为
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则
当且仅当A 为何值时反之也成立?
所以对任给
的
存
在时, 也有
当且仅当
存在
使得当设
对于函数
.
时, 逆命题成立. 证明如下:如果
时, 有
有
. 即
但
不存在, 这则对任意给
使得
当
于是, 对于得到的这个当
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6． 设序列
X n 无上界, 求证:存在子序列
【答案】对于对于对于对于
这样产生一子序列 7． 设
,
. ,
因为使得
’使得
使得
, 使得
, 使得,
, 由广义极限不等式推出
收敛. （
, 证明:交错级数
, 则
, 由f （0）=0和
时, 有f （x
） >f （0）, 即式（1）成立.
【答案】先证明一个不等式. 设事实上, 令当
由已知的极限, 当n 适当大时
, 则当n 适当大时,
有
适当小）, 有
可知, 存在
, 取
满足
,
,
单调递减. 设所给的极限为
这里应用了不等式（1）
, 由此可知, 存在A>0, 使当
n 适当大时
, 有
由莱布尼茨判别法,
收敛.
二、解答题
8
．
设
在点
的某邻域内存在且在点
可微, 则有
【答案】应用中值定理有（对
）
由在
处可微知
所以从而
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同理由在处可微得