2017年西安科技大学计算机科学与技术学院804高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设周期函数f （x ）的周期为2π，证明：
（1）若（2）若【答案】（1）
在上式第二个积分中令
则
同理得
及
当
时，
及
（2）与（1）做法类似，有
当
2． 求函数
【答案】因为因为
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则f （x ）的傅里叶系数则f （x ）的傅里叶系数
于是有
时，
的图形的渐近线
，所以y=0是函数图形的水平渐近线。 ，
所以
及
故有
都是函数图形的铅直渐近线。
3． 计算由四个平面x=0，y=0，x=1，y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积。
【答案】此立体为一曲顶柱体，它的底是
xoy
面上的闭区
域
，顶是曲面Z =6-2x-3y（图）. 因此所求立体的体积
图
4． 要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.
【答案】设水池的长为a ，宽为b ，高为c ，则水池的表面积为
约束条件作拉格郎日函数
。
。由
解得
是唯一可能的极值点，由问题本身可知A 一定有最小值，所以表面积
最小的水池的长和宽都应为，高为。
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5． 确定闭曲线C ，使曲线积分
达到最大值。
【答案】记D 为C 所围成的平面有界闭区域，C 为D 的正向边界曲线，则由格林公式
要使上式右端的二重积分达到最大值，D 应包含所有使被积函数包含使被积函数小于零的点。因此D 应为由椭圆逆时针方向的椭圆
6．
求上半球面和xOz 面上的投影.
【答案】如图所示. 所求立体在xOy 面上的投影即为
得所围成的区域
.
z 轴及曲线故所求立体在xOz 面上的投影为由x 轴，
，而由
=1时，所给的曲线积分达到最大值。
与圆柱体
的公共部分在xOy 大于零的点，而不
所围成的闭区域。这就是说，当C 为取
图
7． 计算下列三重积分：
（1）分；
（2）（3）所围成的闭区域。
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，其中是两个球：和的公共部
，其中是由球面
，其中是由xOy 平面上曲线
所围成的闭区域；
绕x 轴旋转而成的曲面与平面x=5
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