2017年广州大学经济与统计学院612分析与代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是定义在
上的连续的偶函数，则上的连续的偶函数知
从而
所以原命题成立.
2． 用确界原理证明有限覆盖定理。
【答案】构造集合H
覆盖闭区间
所以存在一个开区间
能被H 中有限个开区间覆盖. 明显，S 有上界. 又因为
使
取
由确界原理可知，存在
知，必存在
使
则
即
下面证明取
加上，
就得到
和
从而令
有
【答案】由f (x ) 是定义在
能被H 中的有限个开区间覆盖. 从而
即
用反证法. 若则由H 覆盖闭区间使
则
所以
能被H 中有限个开区间覆盖，把
也能被H 中有限个开区间所覆盖，所以这与矛盾. 因此
3． 设为单调数列. 证明：若存在聚点，则必是惟一的，且为
【答案】
设
则
是一个单调递増数列.
假设于是
中只能含有
0, 按聚点的定义，
中含有无穷多个
所以定理结论成立。 的确界。
令
时
，
存在
则当
是它的两个不相等的聚点，
不妨设
中的点，设
中有穷多个点，这与是聚点矛盾. 因此，若
聚点，则必是惟一的。
假设在：
使
按上确界定义知综上，若
无界，则
的确界。
有聚点，必惟一，恰为
即任给
存在正整数
当
时，
于是小于M 的只有由聚点定义，必存
有限项，因此不可能存在聚点，这与已知题设矛盾，
故
有界. 对任给的
二、解答题
4． 设
满足方程组
这里所有的函数假定有连续的导数.
(1) 说出一个能在该点邻域内确定x ，y ，z 为u 的函数的充分条件； (2) 在
【答案】⑴设
由已知条件
内连续；
内具有一阶连续偏导数；
故当
时，原方程组能在(2) 在
的邻域内确定
为U 的函数.
的情形下，上述条件相当于什么？
的情况下，上述条件相当于
即两两互异.
5． 计算下列第二型曲面积分：
(1) (2
)
取外侧；
其中为锥面的外侧； 其
中
是闭曲
面
(3) (4
)
和球面
(5
)
其中是抛物面方向取上侧； 其
中
为锥
面
所围立体表面的外侧，f (u ) 具有连续导数； 其
中
是三维空间中xy 平面上的曲线
段
绕y 轴旋转而成的曲面，方向取右侧；
(6
)
其中
是平行六面体
的表面并取
外侧，f (x ) , g (y ) ，h (z ) 为上的连续函数；
(7)
【答案】(1)
补充平面式得
而
所以
(2) 闭曲面是由八个平面由高斯公式得
令
则
区域在此变换下变为区域由对称性知，原式
(3) 用
表示以原点为中心、记
为平面z=0上满足成的区域，则由高斯公式得
其中为椭球的表面，取外侧.
取其上侧，
设与
围成的区域为
则由高斯公
组成，其围成的立体为取外侧，
为半径的上半球面，取上侧，取充分小，使
的部分，取下侧，表示曲面
在的内部.
围