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一、证明题

1． 设

令(1

) (2)

求证：

上可导，且导数只在

(0，1) 上可导，且导数只在

且

处不连续； 处不连续. 听以由连续性定理知.

【答案】(1) 因为又当

时，

因此从而

在上一致收敛. 于是函数

上可导，且

又因为上可导，导数在点处不连续，所以

在(2)

上可导，且导数只在点，

故由(1) 知

处不连续.

1) 上可导，在(0，且导数只在点

处

不连续.

2． 证明下列函数在指定区间上的单调性：

⑴⑵(3)

在在在

上严格递増；

上严格递增； 上严格递减.

【答案】(1) 设故(2) 设

在

上严格递增.

那么，

那么，

即

由

可得

于是

递增.

(3)

则

所以

那么，

故

3． 证明：若

【答案】由

又因为

数列

也有上界. 设正数综上所述，得

与

以及两条直线

使得当

与

所围

时，它们的面积

和在

上严格递减. 为递增数列，

为递减数列，且

则

与

都存在且相等.

f 上界，因而

由此可得

即

故

在

上严格

可知，数列为递减数列，所以是

的一个上界. 由

是有界数列，设正数M , 使得对一切n ，

于是，数列

可得

与

都存在. 再由

都是单调有界的，所以

4． 证明：对于由上、下两条连续曲线的平面图形A , 存在包含A 的多边形的极限存在且相等。

【答案】设等分分割

以及被A 包含的多边形

取

于是，分别取

与

相连构成多边形

在上的每一段，相连构成多边形包含A ，A 包含

又因为

分别取与在上的每一段，

因此

而

与

奋

：

上连续，因而可积，且

因此

5． 依次取

由

在

上有定义且在每一点有极限，证明:f (x ) 在[a，b]上有界.

使得

则得到数列

的选取方法有

这与f (x ) 在

6． 设

在

处存在极限矛盾. 故f (x ) 在[a, b]上有界. 上连续，且

证明则

则取；

则

因

上连

续

【答案】当n=l时，取当

时，令

则有

则有

若若

中有一个为0, 设全不为0, 则必存在两点

【答案】反证法. 若f (x ) 在[a, b]上无上界，则对任意正整数n ，

存在

记

由致密性定理知，存在收敛子列

使，上连续，

因

故

【答案】

作

(1) 若(2)

若

即

7． 设f

在

则

故由零点存在定理知，存

在使

得

证明：对任何正整数n ，

存在

命题得证.

使

得

则令有其中

命题得证.

使得