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一、证明题

1． 在[0，1]上定义函数列

证明级数【答案】由

在[0, 1]上一致收敛，但它不存在优级数. 定义可得

从

而时，

有

及

有

恒成立. 所以对于任

意

取

当n>N时，对任意的

由柯两准则知，级数而正项级数优级数

2． 1) 设

(1) (2) 若

则

2) 利用1) 题结果求极限：

【答案】 1)(1) 因为

存在正整

数

在[0，1]上一致收敛. 若

发散，

这与

存在优级数. 特别取，有

不存在

发散.

所以级数为优级数矛盾，因此级数

证明，

对于任给的

使得

当

于是，当

时

时，

存在正整数使得当时当

同时，

时

由于M 的任意性，故

(2) 因为

所以对一切由(1) 的结论得

即

对于任给的

存在正整数

2) ⑴令

(2) 令

则则

且

由第1) 题(2) 得

由第1) 题(1) 得

3． 设

在

上二阶连续可导，证明：

【答案】记

取

由微分中值定理，有

即

于是

有

对上式两边，分别关于

和

S

和

上积分，可得

即

进而有

使得当

时

即

所以

存在正整数N , 使得当

时

即

于是

这就是所谓的内插不等式.

4． 证明:若函数f 在区间上处处连续，且为一一映射，则f 在上严格单调.

【答案】用反证法. 先证明f 在上是单调的. 若不然，

则至少存在三个点

满足

但而

上应用介值定理，则存在

和

而

由

于f 是一一映射，所以上述不等式为严格的，即

注意到f 在上连续，对f 分别在区间和

使得

再证明f 在上是严格单调的.

不妨设f 在上是单调递增的，则对任意

有

注意到在上是一一对应

的，故必有这表明f 在上是严格单调的.

5． 用确界原理证明有限覆盖定理。

【答案】构造集合H

覆盖闭区间

所以存在一个开区间

能被H 中有限个开区间覆盖. 明显，S 有上界. 又因为

使

取

由确界原理可知，存在

知，必存在

矛盾. 因此

使

则

即

下面证明取

加上，

就得到

和

这与f 是一一映射相矛盾，所以f 是单调的.

能被H 中的有限个开区间覆盖. 从而

即

用反证法. 若则由H 覆盖闭区间使

则

所以

也能被H 中有限个开区间所覆盖，所以

这与

能被H 中有限个开区间覆盖，把

所以定理结论成立。

二、解答题

6． 讨论下列函数的连续性：

【答案】(1) 函数上连续. 事实上，当

时，由

在

连续知

在集合：