2017年首都师范大学课程与教学论(一),@内容之高等代数复试实战预测五套卷
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一、分析计算题
1． 设V 是数域K 上一个n 维线性空间，的子空间；令
（1）证明：（2）证明:
是V 的子空间；
下的矩阵A 为置换矩阵（即A 的每一行与每一列
与都是的不变子空间.
即证（2） 取
事实上，因为
所以
其中
即可由再证
对有此即
从而（3）
即1=0, 所以
因为
由于A 是置换阵，设
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是V 的一个基，用表示由生成
（3）设V 上的一个线性变换A 在基【答案】（1）
都只有一个元 素是1，其余元素全为0）. 证明：
所以V 是V 的非空子集
.
是V 的子空间. 今
因为
可证它们线性无关.
那么
：线性表示，从而
其中则
即证③
再由①，②，③证
，则
其中所以
为
的不变子空间
.
其中
于是
故
的不变子空间.
2． 解下列联立方程：
（1）（2）（3）
【答案】（1）令
于是
的一个置换. 因为
有根
当
时，为
解出，得y=l.
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及2. 分别代入原方程，
当x=l时，为
解出，得y=-l. 当x=2时，为
解出，得y=2. 故原方程组有三组解，
（2）与（1）同样解法，计算出
方程组有四组解
（3）计算出
方程组有6组解
3． 下列多项式在有理数域上是否可约？
（1）（2）（3）（4）（5）约.
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为奇素数； 为整数.
无有理根，故不可
【答案】（1）如果可约则必为2个1次因式之积. 故必有有理根，但