2017年温州大学高等数学基础之高等代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1． 设个元素
试证：（1）V 到是一个同构映射； （2）对V 的每组基
有V 的惟一的一组基
（3）如果V 是复数域上n 维线性空间，则有一组基
【答案】（1）由于f 是双线性的，是V 上线性函数即
证是线性映射.
令
则
故同样地
即有
由于V 及取V 的一组基
故是V 到的线性映射.
都是n 维线性空间，又是线性映射，若再能证
使f 的度量矩阵是对角阵
再由f 非退化，
皆不为零. 这组基在
中的对应元为
若有
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是n 维线性空间V 上的非退化对称双线性函数，对V 中一个元素定义中一
的映射
使
使
令
是双射，它就是同构.
于是
由由于
得
即是线性无关的，因而是的基.
故又
若
是满射.
即
这说明
是单射，因而是双射.
的同构.
是它在
使得是
的基，则
则
即
中的对偶基，
由是
于
是
当然
有
这就证明了是线性空间（2）对V 的一' 组基V 到
的同构，令由于也是V
的基.
（3）取V 的一组基
是同构及
使f 的度量矩阵是对角矩阵
又f 在V 上非退化，所有令
皆不为零. 由
则
这时恰好
2． 设
问：是否为【答案】因方程组
的系数行列式D=12，故有唯一解，且由克拉默法则（或消元法）易知其解为
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的线性组合？如果是，求组合系数.
因此，
3． 设m ，n 为正整数且
又
计算以下n 阶行列式
的线性组合，且3/2，0，-1为组合系数.
【答案】根据组合公式行，得
故可从D 的第n 行开始，由下而上，每行都减上一
再对第行如法炮制，如此继续下去，即得一个主对角线上元素全为（即1）
的上三角形行列式，因此，D=l.
4． 设K 为数域，分别为K 上偶次项系数全为零和奇次项系数全为零的全体多项式作成的集合. 证明
【答案】是又
若此，
是满射.
是单射，从而是双射，又由于
因此，
5． 若n 阶方阵A 与B 只是第j 列不同，试证
【答案】设
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都是多项式空间的子空间，且二者同构.
都作成子空间显然，又易知
的一个映射.
即所有
因
i
均为偶数，从而
i+1
均为奇数，于
是
同理易知