2017年长春师范大学高等代数(同等学力及跨学科加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1． 设n 阶行列式
求D 展开式的正项总数.
【答案】由于D 中元素都是±1，因此D 的展开式n! 项中，每一项不是1就是-1, 设展开式中正项总数为P , 负项总数为q ，那么有
由
得
下面计算D ，用第n 行分别加到其它各行得
将④代入③得
2． 设3阶实对称阵A 的特征值是1，2, 3.矩阵A 属于特征值1, 2的特征向量分别是
（1）求A 属于特征值3的特征向量；
（2）求矩阵A.
【答案】（1）没A 属于特征值3的特征向量为
由于A 是实对称阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以有
由齐次方程组①得基础解系
这里a 0就是A 属于特征值3的特征向量. （2）令
则由可得
3． 证明：向量组表示.
【答案】设向量组U ）线性无关. 令
即可由（1）线性表示. 又若卢可由（1）中少于m 个向量线性表示，不妨设
（2）-（3）：
这与（1）线性无关矛盾.
反之，设有向量可由（1）线性表示，但不能由（1）少于m 个的向量线性表示，则（1）必线性无关. 因若不然，则（1）中必有向量可由其余向量线性表示，例如，设线性表示，
从而
4． 设
线性表示，矛盾.
^
线性无关的充要条件是，存在向量可由它线性表示，但不能由其中任何少于m 个向量线性
①用初等变换求A 的标准形（对角矩阵）
，并给出相应的满秩方阵P 使
的标准形.
【答案】①对A 施行相同的列与行的初等变换，化为标准形
②再通过满秩线性代换X=PY验算所得的二次型
②因为易验算
故若X=PY，则得
故以上标准形正确.
的象记为
5． 设T 是线性空间V 上线性变换，T 的核记为
（1）证明：
（2）若v 是n 维线性空间，证明：存在正整数k , 使得
并证明，对一切
的整数有
（3）若V 是n 维线性空间，证明：
【答案】（1）要证①式，只要证明
即可. 立.
要证②式，只需证明
即可
.
则存在
（2）由上面①式有由于V 是有限维，一定存在正整
数k ，使
但
由⑨，⑩即证③成立.
再用数学归纳法证明④式，显然当t=l时结论成立. 归纳假设结论对s —1成立，即
再证k 时结论成立. 事实上，有
则即所以
此即
则所以有故
此即⑥成立，从而①成
使
是常数，且维数不能为负，因此⑧式不能无限不等下去，从而
从而⑦式成立，所以②式成立.