2017年首都师范大学基础数学数学物理数学教育(一)之高等代数考研复试核心题库
● 摘要
目录
2017年首都师范大学基础数学数学物理数学教育（一）之高等代数考研复试核心题库（一） . 2 2017年首都师范大学基础数学数学物理数学教育（一）之高等代数考研复试核心题库（二） . 6 2017年首都师范大学基础数学数学物理数学教育（一）之高等代数考研复试核心题库（三） 10 2017年首都师范大学基础数学数学物理数学教育（一）之高等代数考研复试核心题库（四） 14 2017年首都师范大学基础数学数学物理数学教育（一）之高等代数考研复试核心题库（五） 18
第 1 页，共 23 页
一、分析计算题
1． 设
与
是数域P 上两个线性无关的n 维向量组，证明：
的维数等于齐次线性方程组
【答案】方程组（3-30）的系数矩阵是解空间W 的维数是
由维数公式，得
的解空间的维数.
未知量的个数为s+t, 因而
这里注意到：向量组
2． 给定的两组基
与等价，其秩相等.
定义线性变换
（1）写出由基（2）写出（3）写出
在基在基
到基
下的矩阵.
则
的过渡矩阵；
下的矩阵；
【答案】⑴令
又令过渡矩阵为Z
,
对两端将的表达式代入后，得到
解此方程，得
第 2 页，共 23 页
（2）因为
在基（3）因故
在
下的矩阵仍为Z.
3． 设A ，B 均为n 阶方阵，证明：
【答案】
4． 在欧氏空间
【答案】易知
中，将以下向量组正交标准化：
线性无关. 先对其正交化：
再对
标准化：由于易知
故得正交标准化向量组为：
5． 证明：
多项式
【答案】设
两两互素的充要条件是，
存在多项式
两两互素. 下证（用数学归纳法）（19）成立.
成立，即存在
使
由于
两两互素，故
从而存在多项式
第 3 页，共 23 页
下的矩阵就是Z.
使
当n=2时显然. 假定结论对
使
等式（20）与（21）两边相乘，得
令
即得（19）.
反之，设（19）成立，则可得
由此可知
即
两两互素.
6． 设是酉空间V 的线性变换，证明是酉变换的充要条件是
【答案
】
由已知，即
亦即
将换成即
结合式（1）、式（2）知
因此是V 的酉变换. 7
．
设
分析
由
【答案】由
解方程组
得
且
证
明
：
可得
由酉变换的定义
，
有
有
特别地，
取
则
有
解
出
第 4 页，共 23 页