2018年中南大学数学与统计学院712数学分析之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设向量函数心
定义如下
其中
确定了唯一的隐函数y=f（x ）并求
【答案】计算得知
在得
显见
. 所以, 在点
的某邻域内, 向量函数方程F （x , y ）
因为
所以
于是
2． 证明:（1）两个奇函数之和为奇函数, 其积为偶函数;
（2）两个偶函数之和与积都为偶函数; （3）奇函数与偶函数之积为奇函数. 【答案】（1）设令
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证明:在点
-
的某邻域内, 向量函数方程
上连续, 由
=0确定了惟一的隐函数y=f（x ）, 且
与是D 上的两个奇函数,
则
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所以（2）设则
k （-x ）=f（-x ）g （-x ）
= f（x ）g （x ）=k（x ）
所以（3）设所以
和
为D 上的奇函数, 为奇函数.
都为偶函数.
为D 上的偶函数,
则
与
是D 上的奇函数, 是D 上的两个偶函数,
是D 上的偶函数.
二、解答题
3． 确定下列函数的单调区间:
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）（x ）递减.
（2）f （x ）的定义域为因此在
（3）f
（x
）的定义域为
在
和
4． 设在区间
【答案】
在上,
（4）f （x ）的定义域为
上均为单调递增
.
上具有连续二阶导数, 又设内至少有一个点
使
则
.
,
, 导函数为:
递减; 在, f （x ）递减.
, 故
在定义域上恒正, f （x ）在
.f （x ）递増 , 故在[0, 1]上
,
递增;
.
. 故在
上,
. , f （x ）递增在
上,
f
；
由泰勒公式有
其中在0与x 之间.
而
由介值定理, 至少有一点
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使
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5． 计算曲线积分
和点【答案】
6． 求
.
是以
为周期的连续函数, 故有
对
, 作变换
, 则有
*
即
对
作变换
, 类似于上面, 则有
于是有
令
, 则有
其中
和
为连续函数; AMB
为连接点
的任何路线, 但与直线段AB 围成已知大小为S 的面积.
【答案】由于被积函数
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