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一、计算题

1． 设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

试求E （Y/X）. 【答案】

2． 设

是来自

的样本, 试求

的分布.

故

又与

独立, 于是

3． 设

是来自正态分布族

的一个二维样本, 寻求（【答案】

由因子分解定理知,

4． 设

【答案】因为

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【答案】由条件,

且与服从二元正态分布, 故

）的充分统计量.

为充分统计量. 与

，对k=l，2，3，求

所以

5． 从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本这行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下：

东支：西支：

否可以看作一样（取

）？

这是一个双侧检验问题，因而拒绝域为

由样本数据，算得

检验统计量

当一样.

6． 从

（1）（2）（3）【答案】记

则

又因为（1）

所以

时

因此接受

东、西两支矿脉含锌量的均值可以看作

若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布且方差相同，问东、西两支矿脉含锌量的均值是【答案】由已知条件，待检验一对假设为

十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：

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（2）（3）

7． 设某元件是某电气设备的一个关键部件, 当该元件失效后立即换上一个新的元件. 假定该元件的平均寿命为100小时, 标准差为30小时, 试问:应该有多少备件, 才能有0.95以上的概率, 保证这个系统能连续运行2000小时以上？

【答案】记为第i 个元件的寿命, 如下不等式

再由林德伯格-莱维中心极限定理可得

由此查表得

, 从中解得

, 所以取

, 即应有23个此种元件, 可

. 则

, 根据题意可列

有0.95以上的概率保证这个系统能连续运行2000小时以上.

8． 设是来自如下总体的一个样本伽玛分布，即

【答案】

，求的后验期望估计. 与的联合分布为

若取的先验分布为

于是的后验分布为

这是一个伽玛分布

因而的后验期望估计为

二、证明题

9． 设

则

为独立的随机变量序列, 证明:若诸服从大数定律.

的方差一致有界, 即存在常数c 使得

【答案】因为

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